Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°

1. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: a) Боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен $30^\circ$. Пусть $a$ — боковая сторона, $h$ — высота, $b$ — основание. Площадь треугольника находится по формуле: $$S = \frac{1}{2} b h$$ В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания. В этом треугольнике: $$h = a \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\text{ см}$$ $$\frac{b}{2} = a \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\text{ см}$$ $$b = 20\sqrt{3}\text{ см}$$ Тогда площадь: $$S = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{3} \cdot 10 = 100\sqrt{3}\text{ см}^2$$ **Ответ: $100\sqrt{3}$ см$^2$** б) Высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в $45^\circ$. Пусть $a$ — боковая сторона, $h_a$ — высота, проведённая к боковой стороне $a$, $b$ — основание. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h_a$, частью основания и боковой стороной. Если высота $h_a$ проведена к боковой стороне, то она образует угол $45^\circ$ с основанием. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой, частью основания и отрезком боковой стороны. Пусть высота $BH = 6$ см. Она образует угол $45^\circ$ с основанием $AC$. В прямоугольном треугольнике $BHC$ (если $H$ лежит на $AC$): $$BC = BH / \sin(C)$$ Или, если угол $45^\circ$ — это угол между высотой $h_a$ и основанием, то это угол $BHA$ или $BHC$. Допустим, высота проведена из вершины $B$ к боковой стороне $AC$, и эта высота $h_b = 6$ см. Угол между высотой и основанием $BC$ равен $45^\circ$. **Допущение: под «основанием» понимается одна из боковых сторон, к которой проведена высота. Допустим, проведена высота $h_a$ к боковой стороне $a$. Угол, который эта высота образует с основанием $b$ равнобедренного треугольника, равен $45^\circ$.** Пусть у нас равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Пусть $AK$ — высота, проведённая к боковой стороне $BC$. $AK = 6$ см. Пусть угол $AKB = 45^\circ$. Это не может быть, потому что $AK \perp BC$, значит $\angle AKB = 90^\circ$. **Допущение: Скорее всего, имеется в виду, что высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см, а угол при основании треугольника равен $45^\circ$.** Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. $BH$ — высота к боковой стороне $AC$. $\angle A = \angle C = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABH$: $$AB = BH / \sin(A) = 6 / \sin(45^\circ) = 6 / (\sqrt{2}/2) = 12/\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\text{ см}$$ $$AH = AB \cos(45^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2}/2) = 6\text{ см}$$ Так как треугольник равнобедренный и $\angle A = 45^\circ$, то $\angle C = 45^\circ$. Значит, $\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$. Это прямоугольный равнобедренный треугольник. Основание $AC$ будет гипотенузой. Высота $BD$ к основанию $AC$ (если $BD$ — высота к основанию) будет $BD = AD = DC$. Если высота, проведённая к боковой стороне, это $h_b$, то $h_b = 6$ см. В прямоугольном равнобедренном треугольнике катеты $AB = BC = x$. Тогда гипотенуза $AC = x\sqrt{2}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} x^2$. Также площадь $S = \frac{1}{2} AC \cdot h_{AC}$ или $S = \frac{1}{2} x \cdot h_x$. Если высота 6 см проведена к боковой стороне $x$, то $S = \frac{1}{2} x \cdot 6 = 3x$. $$3x = \frac{1}{2} x^2$$ $$6x = x^2$$ $$x^2 - 6x = 0$$ $$x(x - 6) = 0$$ Так как $x \ne 0$, то $x = 6$ см. Катеты равны 6 см. Площадь: $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\text{ см}^2$$ **Ответ: 18 см$^2$** 2. В треугольнике $ABC$ $BC = 34$ см. Перпендикуляр $MN$, проведённый из середины $BC$ к прямой $AC$, делит сторону $AC$ на отрезки $AN = 25$ см и $NC = 15$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$. Пусть $M$ — середина $BC$, значит $BM = MC = 34/2 = 17$ см. $MN \perp AC$. Точка $N$ лежит на $AC$. $AN = 25$ см, $NC = 15$ см. Тогда $AC = AN + NC = 25 + 15 = 40$ см. В прямоугольном треугольнике $MNC$: $$MC^2 = MN^2 + NC^2$$ $$17^2 = MN^2 + 15^2$$ $$289 = MN^2 + 225$$ $$MN^2 = 289 - 225 = 64$$ $$MN = \sqrt{64} = 8\text{ см}$$ Теперь у нас есть высота $MN = 8$ см. Но это высота к $AC$ из точки $M$, а не из вершины $B$. Нам нужно найти площадь треугольника $ABC$. Для этого нам нужна высота из вершины $B$ к основанию $AC$. Пусть $BH$ — высота из $B$ к $AC$. $M$ — середина $BC$. Проведём $BH \perp AC$. $MN \parallel BH$ (так как оба перпендикулярны $AC$). Если $M$ — середина $BC$ и $MN \parallel BH$, то $MN$ является средней линией треугольника, если $B, M, C$ лежат на одной прямой, и $N, H, C$ тоже, и $MN$ параллельна $BH$. В треугольнике $BHC$: $M$ — середина $BC$. $MN \parallel BH$. Значит, $N$ — середина $HC$. Тогда $HC = 2NC = 2 \cdot 15 = 30$ см. И $BH = 2MN = 2 \cdot 8 = 16$ см. Теперь у нас есть высота $BH = 16$ см и основание $AC = 40$ см. Площадь треугольника $ABC$: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 16 = 20 \cdot 16 = 320\text{ см}^2$$ **Ответ: 320 см$^2$** 3. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, в котором $AB = 5$ см, $BC = 13$ см, $CD = 9$ см, $DA = 15$ см, $AC = 12$ см. Четырёхугольник $ABCD$ можно разбить на два треугольника: $ABC$ и $ADC$ (по диагонали $AC$). Найдем площадь каждого треугольника по формуле Герона. Для треугольника $ABC$: Стороны: $a = AB = 5$ см, $b = BC = 13$ см, $c = AC = 12$ см. Полупериметр $p_1 = \frac{5 + 13 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см. Площадь $S_{ABC} = \sqrt{p_1(p_1-a)(p_1-b)(p_1-c)} = \sqrt{15(15-5)(15-13)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{900} = 30\text{ см}^2$. Для треугольника $ADC$: Стороны: $a = AD = 15$ см, $b = CD = 9$ см, $c = AC = 12$ см. Полупериметр $p_2 = \frac{15 + 9 + 12}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см. Площадь $S_{ADC} = \sqrt{p_2(p_2-a)(p_2-b)(p_2-c)} = \sqrt{18(18-15)(18-9)(18-12)} = \sqrt{18 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 6} = \sqrt{2916} = 54\text{ см}^2$. Площадь четырёхугольника $ABCD$ равна сумме площадей треугольников $ABC$ и $ADC$: $$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = 30 + 54 = 84\text{ см}^2$$ **Ответ: 84 см$^2$** 4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) Её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен $45^\circ$. Пусть $b$ — меньшее основание, $h$ — высота, $\alpha$ — острый угол. Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} h$, где $a$ — большее основание, $b$ — меньшее основание. В равнобедренной трапеции опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Они образуют два прямоугольных треугольника по бокам. Катет, прилежащий к острому углу $\alpha$, равен $h / \tan(\alpha)$. В нашем случае: $$(a-b)/2 = h / \tan(45^\circ) = 9 / 1 = 9\text{ см}$$ $$a - b = 18\text{ см}$$ $$a = b + 18 = 18 + 18 = 36\text{ см}$$ Теперь найдём площадь: $$S = \frac{18 + 36}{2} \cdot 9 = \frac{54}{2} \cdot 9 = 27 \cdot 9 = 243\text{ см}^2$$ **Ответ: 243 см$^2$** б) Её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали перпендикулярны. Пусть $a = 30$ см (большее основание), $b = 16$ см (меньшее основание). Диагонали перпендикулярны. Для равнобедренной трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, высота $h$ равна полусумме оснований: $$h = \frac{a+b}{2}$$ $$h = \frac{30 + 16}{2} = \frac{46}{2} = 23\text{ см}$$ Площадь трапеции: $$S = \frac{a+b}{2} h = \frac{30 + 16}{2} \cdot 23 = 23 \cdot 23 = 529\text{ см}^2$$ **Ответ: 529 см$^2$**