Решите логарифмическое уравнение $\log_{x-1}(x^2 - 5x + 7) = 1$

Нам нужно решить логарифмическое уравнение: $$\log_{x-1}(x^2 - 5x + 7) = 1$$ Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: 1. Основание логарифма должно быть больше нуля: $$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$$ 2. Основание логарифма не должно быть равно единице: $$x-1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$$ 3. Выражение под логарифмом должно быть больше нуля: $$x^2 - 5x + 7 > 0$$ Для квадратного трёхчлена $x^2 - 5x + 7$ найдём дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положительный, то квадратный трёхчлен $x^2 - 5x + 7$ всегда больше нуля для любых действительных $x$. Таким образом, условие $x^2 - 5x + 7 > 0$ выполняется при всех $x$. Объединяя все условия ОДЗ, получаем: $x > 1$ и $x \neq 2$. Теперь решим само уравнение. По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $b^c = a$. В нашем случае: $$(x-1)^1 = x^2 - 5x + 7$$ $$x - 1 = x^2 - 5x + 7$$ Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$0 = x^2 - 5x - x + 7 + 1$$ $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета. По теореме Виета: Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-6)/1 = 6$ Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8/1 = 8$ Подходящие числа, которые в сумме дают 6, а в произведении 8, это 2 и 4. Значит, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Теперь проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$ и $x \neq 2$): - Для $x_1 = 2$: это значение не удовлетворяет условию $x \neq 2$. Значит, $x_1 = 2$ не является решением. - Для $x_2 = 4$: это значение удовлетворяет условиям $x > 1$ и $x \neq 2$. Значит, $x_2 = 4$ является решением. **Ответ:** $x=4$