Решить показательные уравнения 3. $5^{-x-2} = 125$

3. $5^{-x-2} = 125$ $5^{-x-2} = 5^3$ $-x-2 = 3$ $-x = 5$ $x = -5$ **Ответ:** $x = -5$ 4. $\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-7} = 16$ $(2^{-1})^{4x-7} = 2^4$ $2^{-(4x-7)} = 2^4$ $-4x+7 = 4$ $-4x = -3$ $x = \frac{3}{4}$ **Ответ:** $x = \frac{3}{4}$ 5. $81^{5-x} = \frac{1}{3}$ $(3^4)^{5-x} = 3^{-1}$ $3^{4(5-x)} = 3^{-1}$ $20 - 4x = -1$ $-4x = -21$ $x = \frac{21}{4} = 5,25$ **Ответ:** $x = 5,25$ 6. $5 \cdot 25^x = 125$ $5 \cdot (5^2)^x = 5^3$ $5^1 \cdot 5^{2x} = 5^3$ $5^{1+2x} = 5^3$ $1+2x = 3$ $2x = 2$ $x = 1$ **Ответ:** $x = 1$ 7. $(0,5)^{x^2-3} = 4$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-3} = 2^2$ $(2^{-1})^{x^2-3} = 2^2$ $2^{-(x^2-3)} = 2^2$ $-x^2+3 = 2$ $-x^2 = -1$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$ **Ответ:** $x = \pm 1$ 8. $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-5} = 256^x$ $(4^{-1})^{x-5} = (4^4)^x$ $4^{-(x-5)} = 4^{4x}$ $-x+5 = 4x$ $5 = 5x$ $x = 1$ **Ответ:** $x = 1$ 9. $2^{3+x} = 0,4 \cdot 5^{3+x}$ $2^{3+x} = \frac{4}{10} \cdot 5^{3+x}$ $2^{3+x} = \frac{2}{5} \cdot 5^{3+x}$ $\frac{2^{3+x}}{5^{3+x}} = \frac{2}{5}$ $\left(\frac{2}{5}\right)^{3+x} = \left(\frac{2}{5}\right)^1$ $3+x = 1$ $x = -2$ **Ответ:** $x = -2$ 10. $3^{x-2} - 3^{x-3} = 18$ $3^{x-3} \cdot 3^1 - 3^{x-3} = 18$ $3^{x-3}(3-1) = 18$ $3^{x-3} \cdot 2 = 18$ $3^{x-3} = 9$ $3^{x-3} = 3^2$ $x-3 = 2$ $x = 5$ **Ответ:** $x = 5$ 11. $7^{x-5} = 3^{x-5}$ Если $x-5 \neq 0$, то это возможно только если основание равно 1, что здесь не так, или если показатели равны нулю. $x-5 = 0$ $x = 5$ **Ответ:** $x = 5$ 12. $2^{2x} - 12 \cdot 2^x + 32 = 0$ Пусть $y = 2^x$. Тогда $y^2 = 2^{2x}$. $y^2 - 12y + 32 = 0$ По теореме Виета или через дискриминант: $(y-4)(y-8) = 0$ $y_1 = 4$ или $y_2 = 8$ Возвращаемся к $x$: $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_1 = 2$ $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x_2 = 3$ **Ответ:** $x_1 = 2, x_2 = 3$ 13. $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ $(3^2)^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ $(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ Пусть $y = 3^x$. Тогда $y^2 = (3^x)^2$. $y^2 - 4y + 3 = 0$ По теореме Виета или через дискриминант: $(y-1)(y-3) = 0$ $y_1 = 1$ или $y_2 = 3$ Возвращаемся к $x$: $3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x_1 = 0$ $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x_2 = 1$ **Ответ:** $x_1 = 0, x_2 = 1$