Вычислите: $\frac{1}{12} \cdot \frac{24^{11}}{4^{10} \cdot 6^9}$

Для начала разложим все числа в выражении на простые множители: $$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$24 = 2^3 \cdot 3$$ $$4 = 2^2$$ $$6 = 2 \cdot 3$$ Теперь подставим эти разложения в исходное выражение: $$\frac{1}{2^2 \cdot 3} \cdot \frac{(2^3 \cdot 3)^{11}}{(2^2)^{10} \cdot (2 \cdot 3)^9}$$ Используем свойства степеней: $$\frac{1}{2^2 \cdot 3} \cdot \frac{2^{3 \cdot 11} \cdot 3^{11}}{2^{2 \cdot 10} \cdot 2^9 \cdot 3^9}$$ $$\frac{1}{2^2 \cdot 3^1} \cdot \frac{2^{33} \cdot 3^{11}}{2^{20} \cdot 2^9 \cdot 3^9}$$ Объединим степени с одинаковыми основаниями: $$\frac{1}{2^2 \cdot 3^1} \cdot \frac{2^{33} \cdot 3^{11}}{2^{20+9} \cdot 3^9}$$ $$\frac{1}{2^2 \cdot 3^1} \cdot \frac{2^{33} \cdot 3^{11}}{2^{29} \cdot 3^9}$$ Теперь перемножим дроби: $$\frac{2^{33} \cdot 3^{11}}{2^2 \cdot 3^1 \cdot 2^{29} \cdot 3^9}$$ Объединим степени в знаменателе: $$\frac{2^{33} \cdot 3^{11}}{2^{2+29} \cdot 3^{1+9}}$$ $$\frac{2^{33} \cdot 3^{11}}{2^{31} \cdot 3^{10}}$$ Разделим степени с одинаковыми основаниями: $$2^{33-31} \cdot 3^{11-10}$$ $$2^2 \cdot 3^1$$ Вычислим результат: $$4 \cdot 3 = 12$$ **Ответ: 12**