Докажите, что прямая AC перпендикулярна к плоскости DCB

1. Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Точка $D$ не лежит в плоскости $ABC$, и $DC \perp AC$. a) Докажем, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DCB$. Мы знаем, что $AC \perp BC$ (поскольку угол $C$ прямой). Мы также знаем, что $AC \perp DC$ (дано). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. Прямые $BC$ и $DC$ пересекаются в точке $C$ и лежат в плоскости $DCB$. Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DCB$. b) Верно ли, что прямая $DC$ перпендикулярна плоскости $ABC$? Нет, это неверно. Для того чтобы прямая $DC$ была перпендикулярна плоскости $ABC$, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Нам известно, что $DC \perp AC$. Но нам не дано, что $DC$ перпендикулярна, например, $BC$ или $AB$. Если бы $DC$ была перпендикулярна плоскости $ABC$, то $DC$ была бы перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $C$, в том числе $BC$. Но это не дано в условии. 2. Отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$. Через точки $A$ и $B$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $\alpha$ и пересекающие ее в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдем $AB$, если $A_1B_1 = 12$ см, $AA_1 = 6$ см, $BB_1 = 11$ см. Поскольку прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, то они параллельны друг другу. Это означает, что $A_1B_1BA$ является трапецией, у которой $AA_1$ и $BB_1$ — основания. Построим из точки $A_1$ прямую, параллельную $AB_1$, до пересечения с $BB_1$ в точке $K$. Тогда $A_1B_1B'B$ является прямоугольником. Опустим перпендикуляр $A_1H$ на $BB_1$. Тогда $A_1B_1$ и $AH$ параллельны и равны, $A_1A$ и $B_1H$ также равны. В прямоугольной трапеции $A_1B_1BA$ опустим перпендикуляр $A_1K$ из точки $A_1$ на отрезок $BB_1$. Тогда $A_1K = A_1B_1 = 12$ см. Длина отрезка $BK = BB_1 - AA_1 = 11 - 6 = 5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1KB$. По теореме Пифагора: $AB^2 = A_1K^2 + BK^2$ $AB^2 = 12^2 + 5^2$ $AB^2 = 144 + 25$ $AB^2 = 169$ $AB = \sqrt{169}$ $AB = 13$ см. **Ответ:** 1. а) Доказательство приведено выше. б) Нет. 2. $AB = 13$ см.