Решите тригонометрическое уравнение $\sin^2 x + \sin x \cos x = 0$

а) $$ \sin^2 x + \sin x \cos x = 0 $$ Вынесем $\sin x$ за скобки: $$ \sin x (\sin x + \cos x) = 0 $$ Значит, либо $\sin x = 0$, либо $\sin x + \cos x = 0$. Рассмотрим первый случай: $$ \sin x = 0 $$ $$ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим второй случай: $$ \sin x + \cos x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $\cos x$ (предполагаем, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то из исходного уравнения $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$): $$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $$ $$ \tan x + 1 = 0 $$ $$ \tan x = -1 $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** а) $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $$ \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $$ Вынесем $\cos x$ за скобки: $$ \cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0 $$ Значит, либо $\cos x = 0$, либо $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$. Рассмотрим первый случай: $$ \cos x = 0 $$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим второй случай: $$ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $\cos x$ (предполагаем, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то из исходного уравнения $\sqrt{3} \sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$): $$ \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $$ $$ \sqrt{3} \tan x + 1 = 0 $$ $$ \sqrt{3} \tan x = -1 $$ $$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** б) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$