Решите тригонометрическое уравнение $\sin \frac{x}{2} - 3 \cos \frac{x}{2} = 3$

Допущение: нужно решить тригонометрическое уравнение. Данное уравнение имеет вид $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2}$. В нашем случае $a = 1$, $b = -3$, поэтому $\sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{10}$: $$ \frac{1}{\sqrt{10}} \sin \frac{x}{2} - \frac{3}{\sqrt{10}} \cos \frac{x}{2} = \frac{3}{\sqrt{10}} $$ Обозначим $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ и $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$. Тогда уравнение примет вид: $$ \cos \alpha \sin \frac{x}{2} - \sin \alpha \cos \frac{x}{2} = \frac{3}{\sqrt{10}} $$ Используем формулу синуса разности: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$. Тогда наше уравнение станет: $$ \sin\left(\frac{x}{2} - \alpha\right) = \frac{3}{\sqrt{10}} $$ Пусть $\arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \beta$. Тогда: $$ \frac{x}{2} - \alpha = \beta + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ или $$ \frac{x}{2} - \alpha = \pi - \beta + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Решим для $x$: $$ \frac{x}{2} = \alpha + \beta + 2\pi n \implies x = 2(\alpha + \beta) + 4\pi n $$ $$ \frac{x}{2} = \alpha + \pi - \beta + 2\pi n \implies x = 2(\alpha + \pi - \beta) + 4\pi n $$ Где $\alpha = \operatorname{arctg}(3)$ и $\beta = \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$. **Ответ:** $x = 2\left(\operatorname{arctg}(3) + \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\right) + 4\pi n$ или $x = 2\left(\operatorname{arctg}(3) + \pi - \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\right) + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.