Найти расстояние от точки E до вершины квадрата, если ABCK — квадрат со стороной $\sqrt{2}$. О — точка пересечения его диагоналей. Отрезок OE перпендикулярен плоскости ABCK, причем $OE = \sqrt{3}$.

1. Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по формуле $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае сторона квадрата $ABCK$ равна $\sqrt{2}$, значит, длина диагонали будет: $$d = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$$ 2. Точка $O$ — это точка пересечения диагоналей, она делит диагонали пополам. Значит, расстояние от центра квадрата до любой вершины будет половиной диагонали: $$AO = BO = CO = KO = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ 3. Отрезок $OE$ перпендикулярен плоскости квадрата. Это означает, что треугольник $EOC$ (и любой другой треугольник, образованный точкой $E$, центром квадрата $O$ и любой вершиной квадрата) будет прямоугольным, с прямым углом при вершине $O$. В прямоугольном треугольнике $EOC$ гипотенуза $EC$ (это и есть искомое расстояние от точки $E$ до вершины $C$) и катеты $EO$ и $OC$ связаны теоремой Пифагора: $$EC^2 = EO^2 + OC^2$$ Нам дано, что $OE = \sqrt{3}$, и мы нашли, что $OC = 1$. Подставляем эти значения: $$EC^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$$ $$EC^2 = 3 + 1$$ $$EC^2 = 4$$ $$EC = \sqrt{4} = 2$$ **Ответ:** Расстояние от точки E до вершины квадрата равно 2.