Задача № 4 Записаны измерения отрезков в сантиметрах: 23, 17, 32, 21, х. Найдите х, если известно, что медиана этого набора совпадает с его средним арифметическим.

1. Сначала упорядочим набор чисел по возрастанию. Предположим, что $x$ больше или равен 23, так как числа в наборе 23, 17, 32, 21, x. Упорядоченный набор: $17, 21, 23, 32, x$. Медиана набора из 5 чисел — это число, которое стоит посередине, то есть третье число. В данном случае это 23. Теперь найдем среднее арифметическое этого набора: $$\frac{17 + 21 + 23 + 32 + x}{5}$$ $$\frac{93 + x}{5}$$ По условию, медиана равна среднему арифметическому: $$23 = \frac{93 + x}{5}$$ Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$: $$23 \cdot 5 = 93 + x$$ $$115 = 93 + x$$ $$x = 115 - 93$$ $$x = 22$$ Проверим наше допущение, что $x \ge 23$. Полученное значение $x = 22$ не соответствует этому допущению. Значит, нужно рассмотреть другой вариант упорядочивания чисел. **Допущение: $x < 23$.** Упорядоченный набор чисел: $17, 21, x, 23, 32$. Медиана в этом случае — $x$. Среднее арифметическое остается таким же: $$\frac{93 + x}{5}$$ Приравниваем медиану к среднему арифметическому: $$x = \frac{93 + x}{5}$$ Решаем уравнение: $$5x = 93 + x$$ $$5x - x = 93$$ $$4x = 93$$ $$x = \frac{93}{4}$$ $$x = 23,25$$ Теперь проверим это допущение: $x = 23,25$. Это значение не соответствует допущению $x < 23$. Значит, и этот вариант не подходит. Похоже, я упустил еще один вариант расположения $x$. **Допущение: $21 < x < 23$.** Упорядоченный набор чисел: $17, 21, x, 23, 32$. Медиана: $x$. Среднее арифметическое: $$\frac{93 + x}{5}$$ Приравниваем: $$x = \frac{93 + x}{5}$$ $$5x = 93 + x$$ $$4x = 93$$ $$x = 23,25$$ Это значение $x = 23,25$ не находится в интервале $21 < x < 23$. Это означает, что $x$ должно быть 23,25, но тогда медиана была бы 23,25, что соответствует найденному значению. Однако, при этом упорядоченный ряд $17, 21, 23.25, 23, 32$ становится некорректным. Правильный упорядоченный ряд при $x = 23.25$ будет $17, 21, 23, 23.25, 32$, и медианой в этом случае будет 23. Давай сделаем по-другому. Разделим решение на возможные случаи для $x$ и найдем медиану для каждого случая, а затем проверим условие. **Случай 1: $x \le 17$** Упорядоченный набор: $x, 17, 21, 23, 32$. Медиана: 21. Среднее арифметическое: $$\frac{93 + x}{5}$$ $$21 = \frac{93 + x}{5}$$ $$105 = 93 + x$$ $$x = 105 - 93$$ $$x = 12$$ Это значение $x=12$ удовлетворяет условию $x \le 17$. Значит, это верный ответ для данного случая. **Случай 2: $17 < x \le 21$** Упорядоченный набор: $17, x, 21, 23, 32$. Медиана: 21. Среднее арифметическое: $$\frac{93 + x}{5}$$ $$21 = \frac{93 + x}{5}$$ $$105 = 93 + x$$ $$x = 105 - 93$$ $$x = 12$$ Это значение $x=12$ не удовлетворяет условию $17 < x \le 21$. Значит, в этом случае решения нет. **Случай 3: $21 < x \le 23$** Упорядоченный набор: $17, 21, x, 23, 32$. Медиана: $x$. Среднее арифметическое: $$\frac{93 + x}{5}$$ $$x = \frac{93 + x}{5}$$ $$5x = 93 + x$$ $$4x = 93$$ $$x = 23,25$$ Это значение $x=23,25$ не удовлетворяет условию $21 < x \le 23$. Значит, в этом случае решения нет. **Случай 4: $23 < x \le 32$** Упорядоченный набор: $17, 21, 23, x, 32$. Медиана: 23. Среднее арифметическое: $$\frac{93 + x}{5}$$ $$23 = \frac{93 + x}{5}$$ $$115 = 93 + x$$ $$x = 115 - 93$$ $$x = 22$$ Это значение $x=22$ не удовлетворяет условию $23 < x \le 32$. Значит, в этом случае решения нет. **Случай 5: $x > 32$** Упорядоченный набор: $17, 21, 23, 32, x$. Медиана: 23. Среднее арифметическое: $$\frac{93 + x}{5}$$ $$23 = \frac{93 + x}{5}$$ $$115 = 93 + x$$ $$x = 115 - 93$$ $$x = 22$$ Это значение $x=22$ не удовлетворяет условию $x > 32$. Значит, в этом случае решения нет. Единственное подходящее значение $x$ это 12. **Ответ: 12** 2. Пусть неизвестное число, которое нужно добавить, равно $y$. Набор чисел станет: $3, 4, 5, y$. Теперь в наборе 4 числа. Среднее арифметическое нового набора должно быть равно 5. Формула среднего арифметического: $$\frac{\text{сумма всех чисел}}{\text{количество чисел}}$$ Для нашего набора: $$\frac{3 + 4 + 5 + y}{4} = 5$$ Теперь решим это уравнение: $$\frac{12 + y}{4} = 5$$ Умножим обе части на 4: $$12 + y = 5 \cdot 4$$ $$12 + y = 20$$ Вычтем 12 из обеих частей: $$y = 20 - 12$$ $$y = 8$$ **Ответ: 8**