Упростите выражение: $$\frac{5^4 \cdot 125^{-2}}{(-5^2)^3}$$

1) Упростим выражение: $$ \frac{5^4 \cdot 125^{-2}}{(-5^2)^3} $$ Сначала представим $125$ как степень $5$: $125 = 5^3$. А затем подставим это в выражение: $$ \frac{5^4 \cdot (5^3)^{-2}}{(-5^2)^3} $$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ \frac{5^4 \cdot 5^{3 \cdot (-2)}}{(-5^2)^3} = \frac{5^4 \cdot 5^{-6}}{(-5^2)^3} $$ В числителе используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$ \frac{5^{4 + (-6)}}{(-5^2)^3} = \frac{5^{-2}}{(-5^2)^3} $$ Теперь рассмотрим знаменатель $(-5^2)^3$. Так как степень $3$ нечетная, минус сохранится: $$ (-5^2)^3 = -(5^2)^3 = -5^{2 \cdot 3} = -5^6 $$ Теперь подставим это обратно в дробь: $$ \frac{5^{-2}}{-5^6} $$ Минус можно вынести перед дробью. А для деления степеней с одинаковым основанием $a^m / a^n = a^{m-n}$: $$ -\frac{5^{-2}}{5^6} = -5^{-2 - 6} = -5^{-8} $$ Также можно записать как: $$ -\frac{1}{5^8} $$ **Ответ:** $$-5^{-8}$$ или $$-\frac{1}{5^8}$$