Проверьте, лежат ли точки A(5; -1; 0), B(-2; 7; 1), C(12; -15; -7), D(1; 1; -2) в одной плоскости.

Чтобы проверить, лежат ли все четыре точки в одной плоскости, можно использовать свойство компланарности векторов. Если векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ компланарны, то точки A, B, C, D лежат в одной плоскости. Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Найдем координаты векторов: $\vec{AB} = B - A = (-2-5; 7-(-1); 1-0) = (-7; 8; 1)$ $\vec{AC} = C - A = (12-5; -15-(-1); -7-0) = (7; -14; -7)$ $\vec{AD} = D - A = (1-5; 1-(-1); -2-0) = (-4; 2; -2)$ Вычислим смешанное произведение векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $$(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -7 & 8 & 1 \\ 7 & -14 & -7 \\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Разложим определитель по первой строке: $$ = -7 \cdot ((-14) \cdot (-2) - (-7) \cdot 2) - 8 \cdot (7 \cdot (-2) - (-7) \cdot (-4)) + 1 \cdot (7 \cdot 2 - (-14) \cdot (-4))$$ $$ = -7 \cdot (28 + 14) - 8 \cdot (-14 - 28) + 1 \cdot (14 - 56)$$ $$ = -7 \cdot (42) - 8 \cdot (-42) + 1 \cdot (-42)$$ $$ = -294 + 336 - 42$$ $$ = 42 - 42$$ $$ = 0$$ Поскольку смешанное произведение векторов равно нулю, векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ компланарны. Следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. **Ответ: Лежат**