Найдите неизвестный член пропорции $3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{7} = 2\frac{1}{3} : t$

Найдём неизвестный член пропорции. а) $3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{7} = 2\frac{1}{3} : t$ Для начала переведём все смешанные дроби в неправильные: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$ $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$ Теперь запишем пропорцию с неправильными дробями: $\frac{7}{2} : \frac{15}{7} = \frac{7}{3} : t$ В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит: $\frac{7}{2} \cdot t = \frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3}$ Упростим правую часть: $\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{15 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{15}{3} = 5$ Получаем уравнение: $\frac{7}{2} \cdot t = 5$ Чтобы найти $t$, разделим обе части уравнения на $\frac{7}{2}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{2}{7}$): $t = 5 : \frac{7}{2}$ $t = 5 \cdot \frac{2}{7}$ $t = \frac{5 \cdot 2}{7}$ $t = \frac{10}{7}$ Выделим целую часть: $t = 1\frac{3}{7}$ **Ответ: $t = 1\frac{3}{7}$** б) $3\frac{1}{3} : s = 4\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$ Переведём все смешанные дроби в неправильные: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ $4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$ $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$ Запишем пропорцию: $\frac{10}{3} : s = \frac{14}{3} : \frac{7}{6}$ Произведение крайних членов равно произведению средних членов: $\frac{10}{3} \cdot \frac{7}{6} = s \cdot \frac{14}{3}$ Упростим левую часть: $\frac{10}{3} \cdot \frac{7}{6} = \frac{10 \cdot 7}{3 \cdot 6} = \frac{70}{18} = \frac{35}{9}$ Получаем уравнение: $\frac{35}{9} = s \cdot \frac{14}{3}$ Чтобы найти $s$, разделим обе части уравнения на $\frac{14}{3}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{3}{14}$): $s = \frac{35}{9} : \frac{14}{3}$ $s = \frac{35}{9} \cdot \frac{3}{14}$ $s = \frac{35 \cdot 3}{9 \cdot 14}$ Сократим дроби: 35 и 14 делятся на 7, 3 и 9 делятся на 3: $s = \frac{(5 \cdot 7) \cdot 3}{(3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7)}$ $s = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 2}$ $s = \frac{5}{6}$ **Ответ: $s = \frac{5}{6}$** в) $y : \frac{2}{3} = 8\frac{1}{6} : 2\frac{1}{3}$ Переведём смешанные дроби в неправильные: $8\frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{49}{6}$ $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$ Запишем пропорцию: $y : \frac{2}{3} = \frac{49}{6} : \frac{7}{3}$ Произведение крайних членов равно произведению средних членов: $y \cdot \frac{7}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{49}{6}$ Упростим правую часть: $\frac{2}{3} \cdot \frac{49}{6} = \frac{2 \cdot 49}{3 \cdot 6} = \frac{98}{18} = \frac{49}{9}$ Получаем уравнение: $y \cdot \frac{7}{3} = \frac{49}{9}$ Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $\frac{7}{3}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{3}{7}$): $y = \frac{49}{9} : \frac{7}{3}$ $y = \frac{49}{9} \cdot \frac{3}{7}$ $y = \frac{49 \cdot 3}{9 \cdot 7}$ Сократим дроби: 49 и 7 делятся на 7, 3 и 9 делятся на 3: $y = \frac{(7 \cdot 7) \cdot 3}{(3 \cdot 3) \cdot 7}$ $y = \frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 1}$ $y = \frac{7}{3}$ Выделим целую часть: $y = 2\frac{1}{3}$ **Ответ: $y = 2\frac{1}{3}$** г) $5\frac{1}{7} : \frac{6}{7} = z : \frac{12}{13}$ Переведём смешанную дробь в неправильную: $5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$ Запишем пропорцию: $\frac{36}{7} : \frac{6}{7} = z : \frac{12}{13}$ Произведение крайних членов равно произведению средних членов: $\frac{36}{7} \cdot \frac{12}{13} = \frac{6}{7} \cdot z$ Упростим левую часть: $\frac{36}{7} \cdot \frac{12}{13} = \frac{36 \cdot 12}{7 \cdot 13} = \frac{432}{91}$ Получаем уравнение: $\frac{432}{91} = \frac{6}{7} \cdot z$ Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на $\frac{6}{7}$ (или умножим на обратную дробь $\frac{7}{6}$): $z = \frac{432}{91} : \frac{6}{7}$ $z = \frac{432}{91} \cdot \frac{7}{6}$ $z = \frac{432 \cdot 7}{91 \cdot 6}$ Сократим дроби: 432 и 6 делятся на 6, 7 и 91 делятся на 7: $432 : 6 = 72$ $91 : 7 = 13$ $z = \frac{72 \cdot 1}{13 \cdot 1}$ $z = \frac{72}{13}$ Выделим целую часть: $z = 5\frac{7}{13}$ **Ответ: $z = 5\frac{7}{13}$**