Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC длиной 25 см и 17 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если проекции данных наклонных на эту плоскость относятся как 5 : 2.

Question

Вопрос:

Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC длиной 25 см и 17 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если проекции данных наклонных на эту плоскость относятся как 5 : 2.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AH$ — это искомое расстояние. $HB$ и $HC$ — это проекции наклонных $AB$ и $AC$ соответственно. У нас есть два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + HB^2$ $AC^2 = AH^2 + HC^2$ Известно, что $AB = 25$ см и $AC = 17$ см. Также известно отношение проекций: $\frac{HB}{HC} = \frac{5}{2}$. Пусть $HB = 5x$ и $HC = 2x$. Подставим известные значения в уравнения: $25^2 = AH^2 + (5x)^2 \Rightarrow 625 = AH^2 + 25x^2$ (1) $17^2 = AH^2 + (2x)^2 \Rightarrow 289 = AH^2 + 4x^2$ (2) Вычтем уравнение (2) из уравнения (1): $(625 - 289) = (AH^2 + 25x^2) - (AH^2 + 4x^2)$ $336 = 21x^2$ $x^2 = \frac{336}{21}$ $x^2 = 16$ $x = 4$ Теперь найдем $AH^2$ из уравнения (2): $289 = AH^2 + 4 \cdot (4^2)$ $289 = AH^2 + 4 \cdot 16$ $289 = AH^2 + 64$ $AH^2 = 289 - 64$ $AH^2 = 225$ $AH = \sqrt{225}$ $AH = 15$ **Ответ:** 15

Ответ ассистента

Другие решения