Доказать параллельность плоскостей А1Б1С1 и АБС

**Дано:** * Точка $C$ лежит вне плоскости параллелограмма $ABDE$. * Отметки на сторонах $CE$, $CD$, $CB$ показывают, что точки $A_1$, $C_1$, $B_1$ делят эти стороны в одинаковых отношениях (например, $CA_1/CE = CC_1/CD = CB_1/CB$). **Доказать:** Плоскость $A_1B_1C_1$ параллельна плоскости $ABC$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle C A B$. Точки $A_1$ и $B_1$ лежат на сторонах $CA$ и $CB$ соответственно. Из отметок на рисунке видно, что $CA_1/CA = CB_1/CB$. По теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников), отрезок $A_1B_1$ параллелен отрезку $AB$. $$A_1B_1 \parallel AB$$ 2. Рассмотрим $\triangle C B D$. Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах $CB$ и $CD$ соответственно. Из отметок на рисунке видно, что $CB_1/CB = CC_1/CD$. По теореме Фалеса, отрезок $B_1C_1$ параллелен отрезку $BD$. $$B_1C_1 \parallel BD$$ 3. Рассмотрим $\triangle C D A$. Точки $C_1$ и $A_1$ лежат на сторонах $CD$ и $CA$ соответственно. Из отметок на рисунке видно, что $CC_1/CD = CA_1/CA$. По теореме Фалеса, отрезок $C_1A_1$ параллелен отрезку $DA$. $$C_1A_1 \parallel DA$$ 4. Мы доказали, что две пересекающиеся прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в плоскости $A_1B_1C_1$ параллельны соответственно двум пересекающимся прямым $AB$ и $BD$ в плоскости $ABD$ (которая совпадает с плоскостью $ABC$, так как $D$ лежит в той же плоскости, что и $A,B,C$ из условия параллелограмма $ABDE$). Значит, плоскость $A_1B_1C_1$ параллельна плоскости $ABD$ (или $ABC$). **Ответ:** Плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ параллельны, так как две пересекающиеся прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в плоскости $A_1B_1C_1$ параллельны соответственно двум пересекающимся прямым $AB$ и $BD$ в плоскости $ABC$.