Дан треугольник $ABC$. $AC = 7,8$ см; $\angle B = 30^\circ$; $\angle C = 45^\circ$. Найди сторону $AB$.

Нам дан треугольник $ABC$. Известны сторона $AC = 7,8$ см, угол $\angle B = 30^\circ$ и угол $\angle C = 45^\circ$. Нужно найти сторону $AB$. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов в данном треугольнике. То есть: $$\frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle B}$$ Подставим известные значения в формулу: $$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{7,8}{\sin 30^\circ}$$ Значения синусов стандартных углов: $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$ Теперь подставим эти значения в уравнение: $$\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7,8}{\frac{1}{2}}$$ Чтобы найти $AB$, выразим его из уравнения: $$AB = \frac{7,8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$$ $$AB = \frac{7,8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$$ Сократим $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе: $$AB = 7,8 \cdot \sqrt{2}$$ Чтобы упростить до наименьшего натурального числа под знаком корня, представим 7,8 в виде дроби: $$7,8 = \frac{78}{10} = \frac{39}{5}$$ Тогда: $$AB = \frac{39}{5} \sqrt{2}$$ Или, если нужно выделить целую часть: $$AB = 7\frac{4}{5}\sqrt{2}$$ По условию, ответ нужно упростить до наименьшего натурального числа под знаком корня, что уже сделано ($\sqrt{2}$). Округлить до целого натурального числа вне корня нельзя, так как 7,8 - это не целое число. **Ответ:** $AB = 7,8 \sqrt{2}$ см.