Дан пространственный четырехугольник $ABCD$, точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Точки $E$ и $K$ принадлежат сторонам $CD$ и $BD$ соответственно, так что $DE : EC = DK : KB = 1 : 2$. Установите вид четырехугольника $MNEK$:

1. Пространственный четырехугольник $ABCD$ - это четырехугольник, вершины которого не лежат в одной плоскости. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Это означает, что $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2}BC$. 2. Точки $E$ и $K$ принадлежат сторонам $CD$ и $BD$ соответственно. Дано $DE:EC = DK:KB = 1:2$. Это значит, что $DE = \frac{1}{3}CD$ и $EC = \frac{2}{3}CD$, а также $DK = \frac{1}{3}BD$ и $KB = \frac{2}{3}BD$. Рассмотрим треугольник $BCD$. Точки $E$ и $K$ делят стороны $CD$ и $BD$ в отношении $1:2$ соответственно. По теореме Фалеса (или обобщенной теореме Фалеса), если две прямые пересекают две другие прямые и отсекают на них пропорциональные отрезки, то они параллельны. В нашем случае, поскольку $\frac{DK}{DB} = \frac{DE}{DC} = \frac{1}{3}$, то прямая $KE$ параллельна $BC$ и $KE = \frac{1}{3}BC$. Мы имеем, что $MN \parallel BC$ и $KE \parallel BC$. Отсюда следует, что $MN \parallel KE$. Так как $MN \neq KE$ (поскольку $MN = \frac{1}{2}BC$ и $KE = \frac{1}{3}BC$), то четырехугольник $MNEK$ является трапецией, так как у него есть две параллельные стороны и две другие стороны не параллельны. **Ответ:** в) трапеция