Найдите $\sin \alpha$, если: а) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$

1100. Найдите $\sin \alpha$, если: a) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. **Ответ:** $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ б) $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$. $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. **Ответ:** $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ в) $\cos \alpha = -1$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$. $\sin \alpha = 0$. **Ответ:** $\sin \alpha = 0$ 1101. Найдите $\cos \alpha$, если: a) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$. **Ответ:** $\cos \alpha = \pm \frac{1}{2}$ б) $\sin \alpha = -\frac{1}{4}$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$. **Ответ:** $\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ в) $\sin \alpha = 0$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - 0^2 = 1 - 0 = 1$. $\cos \alpha = \pm \sqrt{1} = \pm 1$. **Ответ:** $\cos \alpha = \pm 1$ 1102. Найдите $\text{tg } \alpha$, если: a) $\cos \alpha = 1$ Если $\cos \alpha = 1$, то $\sin \alpha = 0$. Тогда $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0}{1} = 0$. **Ответ:** $\text{tg } \alpha = 0$ б) $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Сначала найдём $\sin \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. $\sin \alpha = \pm \frac{1}{2}$. Теперь найдём $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Если $\sin \alpha = \frac{1}{2}$, то $\text{tg } \alpha = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Если $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$, то $\text{tg } \alpha = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. **Ответ:** $\text{tg } \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ в) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ **Допущение**: Условие $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ противоречит условию $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, так как в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) синус всегда положительный. Будем решать, игнорируя противоречие и просто вычислять $\text{tg } \alpha$ для $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, предполагая, что угол находится в четверти, где синус отрицателен. Сначала найдём $\cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь найдём $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Если $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\text{tg } \alpha = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$. Если $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\text{tg } \alpha = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$. **Ответ:** $\text{tg } \alpha = \pm 1$ г) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ Для угла во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), $\sin \alpha$ положительный, а $\cos \alpha$ отрицательный. Сначала найдём $\cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Так как $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos \alpha$ будет отрицательным. $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$. Теперь найдём $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$. **Ответ:** $\text{tg } \alpha = -\frac{3}{4}$