Докажите, что $XN \perp k$, если из центра $M$ окружности, лежащей в плоскости $\alpha$, восстановлен перпендикуляр $MX$ к этой плоскости. Прямая $k$ принадлежит плоскости $\alpha$ и касается окружности в точке $N$.

Нам дано: * Окружность лежит в плоскости $\alpha$, а точка $M$ — её центр. * Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ восстановлен перпендикуляр $MX$. * Прямая $k$ лежит в плоскости $\alpha$ и касается окружности в точке $N$. Нужно доказать, что $XN \perp k$. **Доказательство:** 1. Поскольку прямая $k$ касается окружности в точке $N$, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $MN \perp k$. 2. Прямая $MX$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это значит, что $MX$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через основание перпендикуляра $M$. В частности, $MX \perp k$. 3. Мы имеем прямую $k$, которая перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MN$ и $MX$, лежащим в плоскости, проходящей через прямую $k$ (которая является плоскостью $\alpha$). Это не совсем корректно. Правильнее так: прямая $k$ перпендикулярна прямой $MN$, лежащей в плоскости $\alpha$. Прямая $MX$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, включая прямую $k$. Таким образом, прямая $k$ перпендикулярна $MN$ и $MX$. 4. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Это неверно для нашего случая, так как $k$ не перпендикулярна плоскости, проходящей через $MX$ и $MN$. Воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. * Прямая $MX$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. * $MN$ — это проекция наклонной $XN$ на плоскость $\alpha$. * Прямая $k$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна проекции $MN$ ($MN \perp k$). По теореме о трёх перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, $XN \perp k$. **Что и требовалось доказать.**