Выполните арифметические операции с дробями.

1) Вычислим значение выражения: $$19 \frac{1}{2} : \left( 3 \frac{3}{2} - 1 \frac{1}{20} \right)$$ Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. $$3 \frac{3}{2} - 1 \frac{1}{20} = 3 \frac{30}{20} - 1 \frac{1}{20} = 2 \frac{29}{20}$$ Теперь выполним деление: $$19 \frac{1}{2} : 2 \frac{29}{20} = \frac{39}{2} : \frac{69}{20}$$ Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую: $$\frac{39}{2} \cdot \frac{20}{69} = \frac{39 \cdot 20}{2 \cdot 69}$$ Сократим числа: $$\frac{13 \cdot 10}{1 \cdot 23} = \frac{130}{23}$$ Выделим целую часть: $$\frac{130}{23} = 5 \frac{15}{23}$$ **Ответ: $5 \frac{15}{23}$** 2) Упростим выражение: $$3 \frac{6}{7}b - b + 2 \frac{1}{14}b$$ Приведем коэффициенты при $b$ к общему знаменателю. $b$ можно представить как $1b$, то есть $\frac{7}{7}b$ или $\frac{14}{14}b$. $$3 \frac{12}{14}b - 1 \frac{14}{14}b + 2 \frac{1}{14}b$$ Сложим и вычтем целые и дробные части: $$(3 - 1 + 2)b + \left( \frac{12}{14} - \frac{14}{14} + \frac{1}{14} \right)b$$ $$4b + \left( \frac{12 - 14 + 1}{14} \right)b$$ $$4b + \left( \frac{-1}{14} \right)b$$ $$4b - \frac{1}{14}b = 3 \frac{13}{14}b$$ Теперь подставим значение $b = 91$: $$3 \frac{13}{14} \cdot 91 = \frac{3 \cdot 14 + 13}{14} \cdot 91 = \frac{42 + 13}{14} \cdot 91 = \frac{55}{14} \cdot 91$$ Сократим $14$ и $91$ на $7$: $14 : 7 = 2$, $91 : 7 = 13$. $$\frac{55}{2} \cdot 13 = \frac{55 \cdot 13}{2} = \frac{715}{2} = 357 \frac{1}{2}$$ **Ответ: $357 \frac{1}{2}$** 3) Выполним действия: $$(4 \frac{3}{8} + 2 \frac{5}{12}) \cdot \frac{24}{35} - \frac{1}{7}$$ Сначала сложим числа в скобках. Найдем общий знаменатель для $8$ и $12$, это $24$. $$4 \frac{3}{8} + 2 \frac{5}{12} = 4 \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} + 2 \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = 4 \frac{9}{24} + 2 \frac{10}{24} = 6 \frac{19}{24}$$ Теперь умножим результат на $\frac{24}{35}$: $$6 \frac{19}{24} \cdot \frac{24}{35} = \frac{6 \cdot 24 + 19}{24} \cdot \frac{24}{35} = \frac{144 + 19}{24} \cdot \frac{24}{35} = \frac{163}{24} \cdot \frac{24}{35}$$ Сократим $24$: $$\frac{163}{35}$$ Выделим целую часть: $$\frac{163}{35} = 4 \frac{23}{35}$$ Теперь вычтем $\frac{1}{7}$: $$4 \frac{23}{35} - \frac{1}{7} = 4 \frac{23}{35} - \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 4 \frac{23}{35} - \frac{5}{35} = 4 \frac{18}{35}$$ **Ответ: $4 \frac{18}{35}$** 4) Выполним действия: $$(5 \frac{3}{8} - 2 \frac{4}{7}) \cdot \frac{3}{8} + 1 \frac{1}{6}$$ Сначала вычтем числа в скобках. Найдем общий знаменатель для $8$ и $7$, это $56$. $$5 \frac{3}{8} - 2 \frac{4}{7} = 5 \frac{3 \cdot 7}{8 \cdot 7} - 2 \frac{4 \cdot 8}{7 \cdot 8} = 5 \frac{21}{56} - 2 \frac{32}{56}$$ Так как $21 < 32$, займем единицу у целой части: $$4 \frac{56 + 21}{56} - 2 \frac{32}{56} = 4 \frac{77}{56} - 2 \frac{32}{56} = 2 \frac{45}{56}$$ Теперь умножим результат на $\frac{3}{8}$: $$2 \frac{45}{56} \cdot \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 56 + 45}{56} \cdot \frac{3}{8} = \frac{112 + 45}{56} \cdot \frac{3}{8} = \frac{157}{56} \cdot \frac{3}{8} = \frac{157 \cdot 3}{56 \cdot 8} = \frac{471}{448}$$ Выделим целую часть: $$\frac{471}{448} = 1 \frac{23}{448}$$ Теперь прибавим $1 \frac{1}{6}$: $$1 \frac{23}{448} + 1 \frac{1}{6}$$ Найдем общий знаменатель для $448$ и $6$. $448 = 2^6 \cdot 7$, $6 = 2 \cdot 3$. НОК($448, 6$) $= 2^6 \cdot 3 \cdot 7 = 64 \cdot 21 = 1344$. $$1 \frac{23 \cdot 3}{448 \cdot 3} + 1 \frac{1 \cdot 224}{6 \cdot 224} = 1 \frac{69}{1344} + 1 \frac{224}{1344} = 2 \frac{69 + 224}{1344} = 2 \frac{293}{1344}$$ **Ответ: $2 \frac{293}{1344}$**