Отрезки AC и BD пересекаются в середине O отрезка AC, $\angle BCO = \angle DAO$. Докажите, что $\angle BOA = \angle DOC$.

129. Дано: Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в середине $O$ отрезка $AC$, $\angle BCO = \angle DAO$. Доказать: $\angle BOA = \angle DOC$. **Доказательство:** 1. Так как $O$ — середина отрезка $AC$, то $AO = OC$. 2. Углы $\angle BCO$ и $\angle DAO$ равны по условию. 3. Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle AOD = \angle COB$. 4. В треугольниках $\triangle AOD$ и $\triangle COB$: - $AO = OC$ (пункт 1) - $\angle DAO = \angle BCO$ (по условию) - $\angle AOD = \angle COB$ (пункт 3) По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle AOD = \triangle COB$. 5. Из равенства треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ следует, что соответствующие элементы равны. В частности, $AD = BC$ и $OD = OB$. 6. Рассмотрим треугольники $\triangle BOA$ и $\triangle DOC$: - $AO = OC$ (пункт 1) - $BO = OD$ (пункт 5) - $\angle BOA$ и $\angle DOC$ являются вертикальными углами, значит, $\angle BOA = \angle DOC$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle BOA = \triangle DOC$. Так как $\triangle BOA = \triangle DOC$, то все их соответствующие углы и стороны равны, включая $\angle BOA = \angle DOC$. **Что и требовалось доказать.**