2. Найдите корень уравнения:
$$ \sqrt{\frac{6}{4x-54}} = \frac{1}{7} $$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$ \frac{6}{4x-54} = \left(\frac{1}{7}\right)^2 $$
$$ \frac{6}{4x-54} = \frac{1}{49} $$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на $(4x-54) \cdot 49$:
$$ 6 \cdot 49 = 1 \cdot (4x-54) $$
$$ 294 = 4x-54 $$
Перенесем число 54 в левую часть:
$$ 294 + 54 = 4x $$
$$ 348 = 4x $$
Разделим обе части на 4:
$$ x = \frac{348}{4} $$
$$ x = 87 $$
Проверим ОДЗ: $4x-54 > 0$.
$4 \cdot 87 - 54 = 348 - 54 = 294 > 0$. Корень подходит.
**Ответ: 87**
3. Решите уравнение:
$$ (x^2 - 7x + 6) \sqrt{x^2 - 25} = 0 $$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другие имеют смысл.
Значит, либо $x^2 - 7x + 6 = 0$, либо $\sqrt{x^2 - 25} = 0$.
Также, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 25 \ge 0$, что означает $(x-5)(x+5) \ge 0$.
То есть, $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.
Решим первое уравнение:
$$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$
По теореме Виета или через дискриминант найдем корни. Сумма корней равна 7, произведение равно 6.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Проверим эти корни на соответствие ОДЗ:
Для $x_1 = 1$: $1^2 - 25 = 1 - 25 = -24 < 0$. Этот корень не подходит.
Для $x_2 = 6$: $6^2 - 25 = 36 - 25 = 11 > 0$. Этот корень подходит.
Решим второе уравнение:
$$ \sqrt{x^2 - 25} = 0 $$
Возведем обе части в квадрат:
$$ x^2 - 25 = 0 $$
$$ x^2 = 25 $$
$$ x = \pm 5 $$
Оба корня $x=5$ и $x=-5$ удовлетворяют ОДЗ $x^2 - 25 \ge 0$ (подкоренное выражение равно 0).
Итак, подходящие корни: $6$, $5$, $-5$.
**Ответ: $-5; 5; 6$**
4. Найдите корень уравнения: $$\sqrt{-72 - 17x} = -x$$
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Уравнение содержит квадратный корень, поэтому должны выполняться условия:
1. $-72 - 17x \ge 0$
2. $-x \ge 0 \implies x \le 0$
Решим первое неравенство:
$-17x \ge 72$
$x \le -\frac{72}{17}$
$x \le -4.235...$
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
$$ (-72 - 17x) = (-x)^2 $$
$$ -72 - 17x = x^2 $$
Перенесем все в одну сторону:
$$ x^2 + 17x + 72 = 0 $$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$$ D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 289 - 288 = 1 $$
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 \pm 1}{2} $$
Найдем два корня:
$$ x_1 = \frac{-17 + 1}{2} = \frac{-16}{2} = -8 $$
$$ x_2 = \frac{-17 - 1}{2} = \frac{-18}{2} = -9 $$
Проверим оба корня на соответствие условиям $x \le 0$ и $x \le -\frac{72}{17} \approx -4.235$:
Для $x_1 = -8$:
$-8 \le 0$ (верно)
$-8 \le -\frac{72}{17}$ (верно, так как $-8 \approx -136/17$)
Этот корень подходит.
Для $x_2 = -9$:
$-9 \le 0$ (верно)
$-9 \le -\frac{72}{17}$ (верно, так как $-9 \approx -153/17$)
Этот корень подходит.
Уравнение имеет два корня: $-8$ и $-9$. Меньший из них равен $-9$.
**Ответ: $-9$**
5. Введя соответствующую замену, решите уравнение:
$$ 3\sqrt[4]{x-1} + 2\sqrt{x-1} = 5 $$
Заметим, что $\sqrt{x-1} = (\sqrt[4]{x-1})^2$.
Пусть $y = \sqrt[4]{x-1}$. Тогда $\sqrt{x-1} = y^2$.
Уравнение принимает вид:
$$ 3y + 2y^2 = 5 $$
Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:
$$ 2y^2 + 3y - 5 = 0 $$
Найдем корни с помощью дискриминанта:
$$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 $$
$$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4} $$
Найдем два значения для $y$:
$$ y_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$
$$ y_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5 $$
Теперь вернемся к замене $y = \sqrt[4]{x-1}$. Поскольку $\sqrt[4]{x-1}$ — это арифметический корень, его значение должно быть неотрицательным ($y \ge 0$).
Значение $y_2 = -2.5$ не подходит.
Значение $y_1 = 1$ подходит.
Подставим $y_1 = 1$ обратно в замену:
$$ \sqrt[4]{x-1} = 1 $$
Возведем обе части в четвертую степень:
$$ (\sqrt[4]{x-1})^4 = 1^4 $$
$$ x-1 = 1 $$
$$ x = 1 + 1 $$
$$ x = 2 $$
Проверим ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Корень $x=2$ удовлетворяет этому условию.
**Ответ: 2**
6. Введя соответствующую замену, решите уравнение:
$$ \sqrt[3]{(x+2)^2} - 4\sqrt[3]{x+2} + 3 = 0 $$
Заметим, что $\sqrt[3]{(x+2)^2} = (\sqrt[3]{x+2})^2$.
Пусть $y = \sqrt[3]{x+2}$.
Уравнение принимает вид:
$$ y^2 - 4y + 3 = 0 $$
Найдем корни с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Сумма корней равна 4, произведение равно 3.
Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 3$.
Теперь вернемся к замене $y = \sqrt[3]{x+2}$. Для кубического корня нет ограничений на знак $y$ и на подкоренное выражение.
Случай 1: $y_1 = 1$
$$ \sqrt[3]{x+2} = 1 $$
Возведем обе части в куб:
$$ (\sqrt[3]{x+2})^3 = 1^3 $$
$$ x+2 = 1 $$
$$ x = 1 - 2 $$
$$ x = -1 $$
Случай 2: $y_2 = 3$
$$ \sqrt[3]{x+2} = 3 $$
Возведем обе части в куб:
$$ (\sqrt[3]{x+2})^3 = 3^3 $$
$$ x+2 = 27 $$
$$ x = 27 - 2 $$
$$ x = 25 $$
**Ответ: $-1; 25$**
