Постройте график функции y = (x+1)(x^2-4)/x^2-x-2. Определите, при каких значениях к прямая у = kx не имеет с графиком общих точек.

Дана функция: $y = \frac{(x+1)(x^2-4)}{x^2-x-2}$ Сначала упростим выражение: 1. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Тогда $(x+1)(x^2-4) = (x+1)(x-2)(x+2)$. Знаменатель: $x^2-x-2$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2-x-2=0$ через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$ $x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$ $x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ Значит, $x^2-x-2 = (x-(-1))(x-2) = (x+1)(x-2)$. 2. Запишем функцию в разложенном виде: $y = \frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)}$ 3. Сократим общие множители $(x+1)$ и $(x-2)$. При этом учтем, что эти множители не должны быть равны нулю, так как они находятся в знаменателе исходной функции. То есть, $x \neq -1$ и $x \neq 2$. После сокращения получаем: $y = x+2$. Итак, график функции $y = \frac{(x+1)(x^2-4)}{x^2-x-2}$ это прямая $y = x+2$ с двумя «выколотыми» точками: * При $x = -1$, значение $y = -1+2 = 1$. Значит, выколотая точка $(-1; 1)$. * При $x = 2$, значение $y = 2+2 = 4$. Значит, выколотая точка $(2; 4)$. Теперь построим график функции $y = x+2$ и отметим выколотые точки. :::div .chart-container @chart-1::: Определим, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек. Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0; 0)$. Прямая $y = kx$ не будет иметь общих точек с графиком $y = x+2$ (с учетом выколотых точек), если она: 1. Параллельна прямой $y = x+2$. В этом случае их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент прямой $y = x+2$ равен $1$. Значит, $k = 1$. Если $k=1$, то прямая $y=x$. Она параллельна $y=x+2$ и не пересекается с ней. То есть, при $k=1$ нет общих точек. 2. Проходит через одну из выколотых точек. * Если прямая $y = kx$ проходит через точку $(-1; 1)$: $1 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = -1$. При $k = -1$, прямая $y = -x$. Она пересекает $y = x+2$ в точке $(-1; 1)$, но эта точка «выколота» из графика. Значит, при $k=-1$ общих точек нет. * Если прямая $y = kx$ проходит через точку $(2; 4)$: $4 = k \cdot 2 \Rightarrow k = 2$. При $k = 2$, прямая $y = 2x$. Она пересекает $y = x+2$ в точке $(2; 4)$, но эта точка «выколота» из графика. Значит, при $k=2$ общих точек нет. **Ответ:** Прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек при $k = 1$, $k = -1$, $k = 2$.