Докажите, что один из углов треугольника $ABC$ равен сумме двух других углов, если медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна отрезку $BM$.

Дано: медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна отрезку $BM$. Нужно доказать, что один из углов треугольника $ABC$ равен сумме двух других углов. ### Доказательство: 1. Так как $AM$ — медиана, то $M$ — середина стороны $BC$. Значит, $BM = MC$. (По определению медианы) 2. По условию, $AM = BM$. 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $AM = BM = MC$. 4. Рассмотрим треугольник $ABM$. Поскольку $AM = BM$, то треугольник $ABM$ — равнобедренный. Значит, углы при основании $AB$ равны: $\angle BAM = \angle ABM$. Обозначим их за $\alpha$: $\angle BAM = \angle ABM = \alpha$. 5. Рассмотрим треугольник $AMC$. Поскольку $AM = MC$, то треугольник $AMC$ — равнобедренный. Значит, углы при основании $AC$ равны: $\angle CAM = \angle ACM$. Обозначим их за $\beta$: $\angle CAM = \angle ACM = \beta$. 6. Угол $BAC$ треугольника $ABC$ равен сумме углов $BAM$ и $CAM$: $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = \alpha + \beta$. 7. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ}$: $\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^{\circ}$. 8. Подставим значения углов: $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^{\circ}$. 9. $2\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$. 10. $2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$. 11. $\alpha + \beta = 90^{\circ}$. Таким образом, мы доказали, что $\angle BAC = \alpha + \beta = 90^{\circ}$. **Ответ: Один из углов треугольника $ABC$ (а именно, $\angle BAC$) равен сумме двух других углов ($\angle ABC + \angle BCA = \alpha + \beta$) и равен $90^{\circ}$.**