Вычислите стороны треугольника и радиус описанной около него окружности, если треугольник ABC — прямоугольный, \angle A = 60^\circ и BA = 7 см.

Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром этой окружности. В нашем треугольнике $ABC$ угол $A = 60^\circ$, и он прямоугольный. Так как в прямоугольном треугольнике есть один угол $90^\circ$, а сумма углов в треугольнике $180^\circ$, то угол $C$ или $B$ равен $90^\circ$. По рисунку видно, что $AC$ — гипотенуза. Значит, $BC$ - это гипотенуза, так как она лежит напротив прямого угла $A$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: 1. Угол $A = 60^\circ$. 2. Угол $C = 90^\circ$ (так как $BC$ — гипотенуза, а значит, $C$ — прямой угол, опирающийся на диаметр). 3. Угол $B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Нам дана сторона $BA = 7$ см. По условию, $BC$ — гипотенуза. Значит, $BA$ — это катет. Найдем гипотенузу $BC$: $$BC = \frac{BA}{\cos A} = \frac{7}{\cos 60^\circ} = \frac{7}{0.5} = 14 \text{ см}$$ Теперь найдем катет $AC$: $$AC = BA \cdot \operatorname{tg} A = 7 \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 7 \cdot \sqrt{3} \approx 7 \cdot 1.732 \approx 12.124 \text{ см}$$ Радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы: $$R = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}$$ **Ответ: $AC \approx 12.12$ см, $BC = 14$ см, $R = 7$ см**