Начертите параллелограмм ABCD и постройте векторы 2/3 СВ + СD, 1/4(ВА - ВС).

1. Начерти параллелограмм $ABCD$. Построим векторы: Для $\frac{2}{3}\vec{CB} + \vec{CD}$: :::div .chart-container @chart-1::: Для $\frac{1}{4}(\vec{BA} - \vec{BC})$: :::div .chart-container @chart-2::: 2. Дан треугольник $ABC$, $B_1$ — середина $AC$, $M$ — точка пересечения медиан. а) Вырази $\vec{MB_1}$ через $\vec{MA}$ и $\vec{MC}$. Поскольку $M$ — точка пересечения медиан, $B_1$ — середина $AC$. Вектор $\vec{MB_1}$ можно выразить как полусумму векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MC}$ с отрицательным знаком, так как $\vec{MB_1}$ направлен от $M$ к $B_1$, а $\vec{MA}$ и $\vec{MC}$ направлены от $M$ к вершинам. $$\vec{MB_1} = -\frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MC})$$ б) Вырази $\vec{CM}$ через $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$. Точка $M$ делит медиану $BB_1$ в отношении $BM : MB_1 = 2 : 1$. Следовательно, $\vec{CM} = \frac{1}{3}\vec{CB} + \frac{2}{3}\vec{CB_1}$. Так как $B_1$ — середина $AC$, $\vec{CB_1} = \frac{1}{2}\vec{CA}$. Подставим это в выражение для $\vec{CM}$: $$\vec{CM} = \frac{1}{3}\vec{CB} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{CA}\right) = \frac{1}{3}\vec{CB} + \frac{1}{3}\vec{CA}$$ в) Вырази $\vec{MA_1}$ через $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, если $A_1 \in BC$ и $BA_1 : A_1C = 1 : 2$. Для начала найдем вектор $\vec{AA_1}$. Точка $A_1$ делит сторону $BC$ в отношении $1:2$. Значит, $\vec{AA_1} = \frac{2\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$. Точка $M$ делит медиану $AA_1$ в отношении $AM : MA_1 = 2:1$. То есть $\vec{MA_1} = \frac{1}{3}\vec{AA_1}$. Подставим выражение для $\vec{AA_1}$: $$\vec{MA_1} = \frac{1}{3} \left(\frac{2\vec{AB} + \vec{AC}}{3}\right) = \frac{2}{9}\vec{AB} + \frac{1}{9}\vec{AC}$$ г)* Используя векторы, покажи, что середина отрезка $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$, если $A_1 \in BC$ и $BA_1 : A_1C = 1 : 2$. Пусть $K$ — середина отрезка $BB_1$. Тогда $\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AB_1})$. Так как $B_1$ — середина $AC$, $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Подставим это: $$\vec{AK} = \frac{1}{2}\left(\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}\right) = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC}$$ Чтобы точка $K$ лежала на прямой $AA_1$, векторы $\vec{AK}$ и $\vec{AA_1}$ должны быть коллинеарны, то есть $\vec{AK} = k\vec{AA_1}$ для некоторого скаляра $k$. В пункте (в) мы нашли $\vec{AA_1} = \frac{2\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$. Подставим $\vec{AK}$ и $\vec{AA_1}$: $$\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} = k\left(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\right)$$ $$\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{2k}{3}\vec{AB} + \frac{k}{3}\vec{AC}$$ Приравнивая коэффициенты при $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ (поскольку $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны): $$\frac{1}{2} = \frac{2k}{3} \Rightarrow k = \frac{3}{4}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{k}{3} \Rightarrow k = \frac{3}{4}$$ Так как мы получили одно и то же значение $k = \frac{3}{4}$, векторы $\vec{AK}$ и $\vec{AA_1}$ коллинеарны. Это значит, что середина отрезка $BB_1$ (точка $K$) лежит на прямой $AA_1$.