Решите уравнение 1) 2/(x-3) = 7/(x+1)

1) $$\frac{2}{x-3} = \frac{7}{x+1}$$ ОДЗ: $x \neq 3, x \neq -1$ $$2(x+1) = 7(x-3)$$ $$2x + 2 = 7x - 21$$ $$2 + 21 = 7x - 2x$$ $$23 = 5x$$ $$x = \frac{23}{5}$$ $$x = 4.6$$ **Ответ: $4.6$** 2) $$\frac{6}{x+5} = \frac{4}{3-x}$$ ОДЗ: $x \neq -5, x \neq 3$ $$6(3-x) = 4(x+5)$$ $$18 - 6x = 4x + 20$$ $$18 - 20 = 4x + 6x$$ $$-2 = 10x$$ $$x = -\frac{2}{10}$$ $$x = -0.2$$ **Ответ: $-0.2$** 3) $$\frac{5}{1-x} = \frac{4}{6-x}$$ ОДЗ: $x \neq 1, x \neq 6$ $$5(6-x) = 4(1-x)$$ $$30 - 5x = 4 - 4x$$ $$30 - 4 = -4x + 5x$$ $$26 = x$$ **Ответ: $26$** 4) $$\frac{4}{x-6} = \frac{1}{x+3}$$ ОДЗ: $x \neq 6, x \neq -3$ $$4(x+3) = 1(x-6)$$ $$4x + 12 = x - 6$$ $$4x - x = -6 - 12$$ $$3x = -18$$ $$x = -\frac{18}{3}$$ $$x = -6$$ **Ответ: $-6$** 5) $$\frac{5x}{3x-5} = 3$$ ОДЗ: $3x-5 \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{3}$ $$5x = 3(3x-5)$$ $$5x = 9x - 15$$ $$15 = 9x - 5x$$ $$15 = 4x$$ $$x = \frac{15}{4}$$ $$x = 3.75$$ **Ответ: $3.75$** 6) $$\frac{6x}{1+2x} = 5$$ ОДЗ: $1+2x \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$ $$6x = 5(1+2x)$$ $$6x = 5 + 10x$$ $$ -5 = 10x - 6x$$ $$-5 = 4x$$ $$x = -\frac{5}{4}$$ $$x = -1.25$$ **Ответ: $-1.25$** 7) $$\frac{x}{2x-3} = \frac{4}{x}$$ ОДЗ: $x \neq 0, 2x-3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}$ $$x \cdot x = 4(2x-3)$$ $$x^2 = 8x - 12$$ $$x^2 - 8x + 12 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$$ $$x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$x = \frac{8 \pm 4}{2}$$ $$x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $6, 2$** 8) $$\frac{x}{2x+6} = \frac{2}{x}$$ ОДЗ: $x \neq 0, 2x+6 \neq 0 \implies x \neq -3$ $$x \cdot x = 2(2x+6)$$ $$x^2 = 4x + 12$$ $$x^2 - 4x - 12 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm 8}{2}$$ $$x_1 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $6, -2$** 9) $$6 + \frac{7}{x} = x$$ ОДЗ: $x \neq 0$ Умножим всё на $x$: $$6x + 7 = x^2$$ $$x^2 - 6x - 7 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$$ $$x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$x = \frac{6 \pm 8}{2}$$ $$x_1 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $7, -1$** 10) $$2 + \frac{15}{x} = x$$ ОДЗ: $x \neq 0$ Умножим всё на $x$: $$2x + 15 = x^2$$ $$x^2 - 2x - 15 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$x = \frac{2 \pm 8}{2}$$ $$x_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $5, -3$** 11) $$\frac{x}{2x+3} = \frac{1}{x}$$ ОДЗ: $x \neq 0, 2x+3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2}$ $$x \cdot x = 1(2x+3)$$ $$x^2 = 2x + 3$$ $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$x = \frac{2 \pm 4}{2}$$ $$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $3, -1$** 12) $$\frac{x}{20-x} = \frac{1}{x}$$ ОДЗ: $x \neq 0, 20-x \neq 0 \implies x \neq 20$ $$x \cdot x = 1(20-x)$$ $$x^2 = 20 - x$$ $$x^2 + x - 20 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm 9}{2}$$ $$x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $4, -5$** 13) $$4 + \frac{21}{x} = x$$ ОДЗ: $x \neq 0$ Умножим всё на $x$: $$4x + 21 = x^2$$ $$x^2 - 4x - 21 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm 10}{2}$$ $$x_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $7, -3$** 14) $$3 + \frac{10}{x} = x$$ ОДЗ: $x \neq 0$ Умножим всё на $x$: $$3x + 10 = x^2$$ $$x^2 - 3x - 10 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$x = \frac{3 \pm 7}{2}$$ $$x_1 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $5, -2$** 15) $$\frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 5$$ ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -1$ Приведём дроби к общему знаменателю $x(x+1)$: $$\frac{6(x+1) + 6x}{x(x+1)} = 5$$ $$6x + 6 + 6x = 5x(x+1)$$ $$12x + 6 = 5x^2 + 5x$$ $$5x^2 + 5x - 12x - 6 = 0$$ $$5x^2 - 7x - 6 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6)}}{2 \cdot 5}$$ $$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{10}$$ $$x = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{10}$$ $$x = \frac{7 \pm 13}{10}$$ $$x_1 = \frac{7 + 13}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ $$x_2 = \frac{7 - 13}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $2, -0.6$** 16) $$\frac{3}{x} + \frac{3}{x+2} = 4$$ ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -2$ Приведём дроби к общему знаменателю $x(x+2)$: $$\frac{3(x+2) + 3x}{x(x+2)} = 4$$ $$3x + 6 + 3x = 4x(x+2)$$ $$6x + 6 = 4x^2 + 8x$$ $$4x^2 + 8x - 6x - 6 = 0$$ $$4x^2 + 2x - 6 = 0$$ Разделим уравнение на 2: $$2x^2 + x - 3 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4}$$ $$x = \frac{-1 \pm 5}{4}$$ $$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $1, -1.5$** 17) $$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+2} = 1$$ ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -2$ Приведём дроби к общему знаменателю $x(x+2)$: $$\frac{1(x+2) + 2x}{x(x+2)} = 1$$ $$x + 2 + 2x = x(x+2)$$ $$3x + 2 = x^2 + 2x$$ $$x^2 + 2x - 3x - 2 = 0$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$$ $$x = \frac{1 \pm 3}{2}$$ $$x_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $2, -1$** 18) $$\frac{3}{x} - \frac{3}{x+4} = 1$$ ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -4$ Приведём дроби к общему знаменателю $x(x+4)$: $$\frac{3(x+4) - 3x}{x(x+4)} = 1$$ $$3x + 12 - 3x = x(x+4)$$ $$12 = x^2 + 4x$$ $$x^2 + 4x - 12 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm 8}{2}$$ $$x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $2, -6$**