В параллелограмме KMPT диагональ MT перпендикулярна стороне KM, KM = 13 см, MT = 5 см. Найдите площадь параллелограмма и его высоты, если MP = 14 см.

1) В параллелограмме KMPT диагональ MT перпендикулярна стороне KM, KM = 13 см, MT = 5 см. Найдите площадь параллелограмма и его высоты, если MP = 14 см. ### Решение: 1. **Найдём площадь треугольника KMT.** Так как диагональ MT перпендикулярна стороне KM, треугольник KMT является прямоугольным с прямым углом при вершине M. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S_{\triangle KMT} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot MT$$ $$S_{\triangle KMT} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 5 = \frac{65}{2} = 32.5 \text{ см}^2$$ 2. **Найдём площадь параллелограмма KMPT.** Диагональ MT делит параллелограмм KMPT на два равных треугольника: KMT и MPT. Поэтому площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника KMT. $$S_{KMPT} = 2 \cdot S_{\triangle KMT} = 2 \cdot 32.5 = 65 \text{ см}^2$$ 3. **Найдём высоту параллелограмма, опущенную на сторону MP.** Площадь параллелограмма также можно найти по формуле: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — длина стороны, а $h_a$ — высота, опущенная на эту сторону. Мы знаем площадь параллелограмма ($S_{KMPT} = 65 \text{ см}^2$) и длину стороны MP ($MP = 14 \text{ см}$). Обозначим высоту, опущенную на сторону MP, как $h_{MP}$. $$65 = 14 \cdot h_{MP}$$ $$h_{MP} = \frac{65}{14} \text{ см}$$ 4. **Найдём высоту параллелограмма, опущенную на сторону KM.** Мы уже знаем, что $MT$ является высотой, опущенной на сторону $KM$, так как $MT \perp KM$. $$h_{KM} = MT = 5 \text{ см}$$ **Ответ:** Площадь параллелограмма KMPT равна $65 \text{ см}^2$. Высоты параллелограмма: $5 \text{ см}$ (опущенная на сторону KM) и $\frac{65}{14} \text{ см}$ (опущенная на сторону MP). 2) Стороны параллелограмма равны 12 см и 15 см, а угол между ними $30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма. ### Решение: Площадь параллелограмма можно найти по формуле: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — длины сторон, а $\alpha$ — угол между ними. Известно: * $a = 12 \text{ см}$ * $b = 15 \text{ см}$ * $\alpha = 30^\circ$ Подставим значения в формулу: $$S = 12 \cdot 15 \cdot \sin(30^\circ)$$ Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. $$S = 12 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2}$$ $$S = 180 \cdot \frac{1}{2}$$ $$S = 90 \text{ см}^2$$ **Ответ:** Площадь параллелограмма равна $90 \text{ см}^2$. 3) В $\triangle KMP$ высота MB делит сторону KP на отрезки 6 см и 8 см, $<MKP = 45^\circ$. Найдите площадь $\triangle KMP$. **Допущение:** В условии задачи, скорее всего, опечатка и имеется в виду $\triangle KMP$, а не $\triangle DKMP$. Также, скорее всего, высота MB опущена из вершины M на сторону KP, а отрезки 6 см и 8 см — это KB и BP. ### Решение: 1. **Найдём высоту MB.** Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KMB$ (поскольку MB — высота). Угол $<MKP = 45^\circ$ (это $<MKB$). В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен $45^\circ$, то другой острый угол тоже равен $45^\circ$ ($90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$). Значит, $\triangle KMB$ равнобедренный, и $MB = KB$. По условию, $KB = 6 \text{ см}$. Следовательно, $MB = 6 \text{ см}$. 2. **Найдём сторону KP.** Сторона $KP$ состоит из двух отрезков: $KB$ и $BP$. $KP = KB + BP = 6 \text{ см} + 8 \text{ см} = 14 \text{ см}$. 3. **Найдём площадь треугольника KMP.** Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота$. В нашем случае, основание — это $KP$, а высота — это $MB$. $$S_{\triangle KMP} = \frac{1}{2} \cdot KP \cdot MB$$ $$S_{\triangle KMP} = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 6 \text{ см}$$ $$S_{\triangle KMP} = 7 \cdot 6 = 42 \text{ см}^2$$ **Ответ:** Площадь $\triangle KMP$ равна $42 \text{ см}^2$. 4) В равнобокой трапеции ABCM большее основание AM равно 20 см, высота BH отсекает от AM отрезок AH, равный 6 см. Угол BAM равен $45^\circ$. Найдите площадь трапеции. ### Решение: 1. **Найдём высоту BH.** Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (поскольку BH — высота). Угол $<BAM = 45^\circ$ (это $<BAH$). В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен $45^\circ$, то другой острый угол тоже равен $45^\circ$ ($90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$). Значит, $\triangle ABH$ равнобедренный, и $BH = AH$. По условию, $AH = 6 \text{ см}$. Следовательно, $BH = 6 \text{ см}$. 2. **Найдём меньшее основание BC.** В равнобокой трапеции, если опустить две высоты на большее основание, то от большего основания отсекаются два равных отрезка по краям, а средняя часть будет равна меньшему основанию. Пусть вторая высота будет $CK'$, где $K'$ лежит на $AM$. Тогда $AH = K'M = 6 \text{ см}$. Меньшее основание $BC = AM - AH - K'M$. $BC = 20 \text{ см} - 6 \text{ см} - 6 \text{ см} = 20 \text{ см} - 12 \text{ см} = 8 \text{ см}$. 3. **Найдём площадь трапеции.** Площадь трапеции можно найти по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Известно: * Больше основание $AM = 20 \text{ см}$ * Меньшее основание $BC = 8 \text{ см}$ * Высота $BH = 6 \text{ см}$ Подставим значения в формулу: $$S_{ABCM} = \frac{AM + BC}{2} \cdot BH$$ $$S_{ABCM} = \frac{20 + 8}{2} \cdot 6$$ $$S_{ABCM} = \frac{28}{2} \cdot 6$$ $$S_{ABCM} = 14 \cdot 6$$ $$S_{ABCM} = 84 \text{ см}^2$$ **Ответ:** Площадь трапеции равна $84 \text{ см}^2$.