Докажите, что если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны к прямой $a$, то они параллельны.

123. Докажите, что если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны к прямой $a$, то они параллельны. **Доказательство:** Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой $l$. По условию, плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $a$. Это означает, что прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку их пересечения (если такая точка есть). Аналогично, плоскость $\beta$ перпендикулярна прямой $a$. Это означает, что прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку их пересечения. Рассмотрим прямую $l$, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Поскольку прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$, и плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $a$, то прямая $a$ перпендикулярна прямой $l$. Поскольку прямая $l$ лежит в плоскости $\beta$, и плоскость $\beta$ перпендикулярна прямой $a$, то прямая $a$ перпендикулярна прямой $l$. Таким образом, мы имеем две плоскости $\alpha$ и $\beta$, перпендикулярные одной и той же прямой $a$. Это возможно только в том случае, если плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Если бы они не были параллельны, то прямая $a$ была бы перпендикулярна к двум различным прямым, лежащим в плоскости пересечения этих плоскостей, что противоречит определению перпендикулярности прямой к плоскости. **Вывод:** Если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.