Решите неравенство $\frac{x^2(x-2)}{8x+4} < 0$.

Нам нужно решить неравенство: $$\frac{x^2(x-2)}{8x+4} < 0$$ Сначала найдём нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x^2(x-2) = 0$ $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$ $x-2 = 0 \implies x_2 = 2$ Нули знаменателя: $8x+4 = 0$ $8x = -4$ $x = -\frac{4}{8}$ $x_3 = -0.5$ Теперь отметим эти точки на числовой прямой: $-0.5$, $0$, $2$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$. Проверим знак выражения в каждом интервале: 1. Интервал $(-\infty; -0.5)$: Возьмём $x = -1$. $$\frac{(-1)^2(-1-2)}{8(-1)+4} = \frac{1 \cdot (-3)}{-8+4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} > 0$$ 2. Интервал $(-0.5; 0)$: Возьмём $x = -0.1$. $$\frac{(-0.1)^2(-0.1-2)}{8(-0.1)+4} = \frac{0.01 \cdot (-2.1)}{-0.8+4} = \frac{-0.021}{3.2} < 0$$ 3. Интервал $(0; 2)$: Возьмём $x = 1$. $$\frac{1^2(1-2)}{8(1)+4} = \frac{1 \cdot (-1)}{8+4} = \frac{-1}{12} < 0$$ 4. Интервал $(2; +\infty)$: Возьмём $x = 3$. $$\frac{3^2(3-2)}{8(3)+4} = \frac{9 \cdot 1}{24+4} = \frac{9}{28} > 0$$ Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$). Это интервалы $(-0.5; 0)$ и $(0; 2)$. **Ответ:** $x \in (-0.5; 0) \cup (0; 2)$