Доказать, что прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ABC$

3. Чтобы доказать, что прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, нужно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Дано: $BMDC$ — прямоугольник. Это значит, что $CD \perp BC$ и $BM \perp BC$. Также $BM$ параллельно $CD$. Поскольку $BMDC$ — прямоугольник, то $CD \perp BC$. Из рисунка видно, что $BM \perp AB$. (В условиях задачи не указано, что $AB$ лежит в одной плоскости с $BC$, но из рисунка это следует, а также есть знак прямого угла). Поскольку $BM \perp AB$ и $BM \perp BC$, а прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$ и лежат в плоскости $ABC$, то прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Так как $BM$ параллельна $CD$ (стороны прямоугольника), и $BM$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то и прямая $CD$ также перпендикулярна плоскости $ABC$. **Что и требовалось доказать.** 4. Нам дано, что $\triangle ABC$ — равносторонний. Это значит, что все его стороны равны: $AB = BC = AC = 2\sqrt{3}$. Прямая $a$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна плоскости $ABC$. Точка $D$ лежит на отрезке $AC$ и является его серединой, так как на рисунке показаны равные отрезки $AD$ и $DC$. В равностороннем треугольнике медиана $BD$ является также высотой и биссектрисой. Значит, $BD \perp AC$. Найдем длину медианы $BD$. В равностороннем треугольнике медиана вычисляется по формуле $BD = \frac{AB \sqrt{3}}{2}$. $$BD = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MDB$. Он прямоугольный, потому что прямая $a$ (которой принадлежит $MD$) перпендикулярна плоскости $ABC$, а значит, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $D$. Значит $MD \perp BD$. Нам даны длины сторон $MD = 4$ и мы только что нашли $BD = 3$. Нужно найти $MC$. Для этого нам нужен треугольник $MDC$. Он также прямоугольный, так как $MD \perp DC$. Используем теорему Пифагора в $\triangle MDC$: $$MC^2 = MD^2 + DC^2$$ Нам нужно найти $DC$. Так как $D$ — середина $AC$, то $DC = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Теперь подставим значения в формулу для $MC^2$: $$MC^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$$ $$MC = \sqrt{19}$$ **Ответ: $\sqrt{19}$**