Являются ли взаимно обратными числа $5\frac{3}{7}$ и $\frac{7}{38}$?

1. Являются ли взаимно обратными числа: а) Чтобы проверить, являются ли числа взаимно обратными, нужно их перемножить. Если результат равен 1, то числа взаимно обратные. $$5\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{38} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} \cdot \frac{7}{38} = \frac{38}{7} \cdot \frac{7}{38} = 1$$ **Ответ: Да, являются.** б) $$4\frac{1}{6} \cdot \frac{25}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} \cdot \frac{25}{6} = \frac{25}{6} \cdot \frac{25}{6} = \frac{625}{36}$$ Так как $\frac{625}{36} \neq 1$. **Ответ: Нет, не являются.** в) Сначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. $$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ Теперь перемножим числа: $$2\frac{1}{4} \cdot 0,2 = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{20}$$ Так как $\frac{9}{20} \neq 1$. **Ответ: Нет, не являются.** 2. Найдите $x$, если: а) Чтобы найти $x$, нужно разделить правую часть уравнения на коэффициент при $x$. $$1\frac{2}{3}x = \frac{3}{5}$$ $$\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}x = \frac{3}{5}$$ $$\frac{5}{3}x = \frac{3}{5}$$ $$x = \frac{3}{5} \div \frac{5}{3}$$ $$x = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}$$ $$x = \frac{9}{25}$$ **Ответ: $x = \frac{9}{25}$** б) Чтобы найти $x$, нужно разделить правую часть уравнения на коэффициент при $x$. $$x \cdot 1\frac{7}{9} = 1\frac{2}{3}$$ $$x = 1\frac{2}{3} \div 1\frac{7}{9}$$ $$x = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} \div \frac{1 \cdot 9 + 7}{9}$$ $$x = \frac{5}{3} \div \frac{16}{9}$$ $$x = \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{16}$$ $$x = \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 16}$$ $$x = \frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 16}$$ $$x = \frac{15}{16}$$ **Ответ: $x = \frac{15}{16}$** 3. Выполните действия: а) Выполняем действия в скобках сначала, затем деление. $$3\frac{1}{5} : \left(16 : 1\frac{1}{3}\right)$$ Переведем смешанные дроби в неправильные: $$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$$ $$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$$ Сначала действие в скобках: $$16 : \frac{4}{3} = 16 \cdot \frac{3}{4} = \frac{16 \cdot 3}{4} = 4 \cdot 3 = 12$$ Теперь деление: $$\frac{16}{5} : 12 = \frac{16}{5} \cdot \frac{1}{12} = \frac{16}{60} = \frac{4}{15}$$ **Ответ: $\frac{4}{15}$** б) Сначала выполним действия в скобках, затем деление. $$\left(1 - \frac{2}{5}\right) : \left(2\frac{6}{11} : \frac{56}{121}\right)$$ Первая скобка: $$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$ Вторая скобка: $$2\frac{6}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{22 + 6}{11} = \frac{28}{11}$$ $$\frac{28}{11} : \frac{56}{121} = \frac{28}{11} \cdot \frac{121}{56}$$ Разделим 28 и 56 на 28, а 11 и 121 на 11: $$\frac{1}{1} \cdot \frac{11}{2} = \frac{11}{2}$$ Теперь делим результаты скобок: $$\frac{3}{5} : \frac{11}{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{11} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 11} = \frac{6}{55}$$ **Ответ: $\frac{6}{55}$** 4. Найдите периметр прямоугольной комнаты, площадь которой равна $19\frac{2}{7}$ м$^2$, а длина — $3\frac{3}{14}$ м. Для начала найдем ширину комнаты. Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $S$ — площадь, $a$ — длина, $b$ — ширина. Отсюда $b = S \div a$. Переведем смешанные дроби в неправильные: $$19\frac{2}{7} = \frac{19 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{133 + 2}{7} = \frac{135}{7}$$ $$3\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{42 + 3}{14} = \frac{45}{14}$$ Найдем ширину ($b$): $$b = \frac{135}{7} \div \frac{45}{14}$$ $$b = \frac{135}{7} \cdot \frac{14}{45}$$ $$b = \frac{135 \cdot 14}{7 \cdot 45}$$ Разделим 135 и 45 на 45, а 14 и 7 на 7: $$b = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$$ Ширина комнаты $b = 6$ м. Теперь найдем периметр. Формула периметра прямоугольника: $P = 2 \cdot (a + b)$. $$P = 2 \cdot \left(3\frac{3}{14} + 6\right)$$ $$P = 2 \cdot \left(\frac{45}{14} + \frac{6 \cdot 14}{14}\right)$$ $$P = 2 \cdot \left(\frac{45}{14} + \frac{84}{14}\right)$$ $$P = 2 \cdot \frac{45 + 84}{14}$$ $$P = 2 \cdot \frac{129}{14}$$ $$P = \frac{2 \cdot 129}{14}$$ $$P = \frac{129}{7}$$ $$P = 18\frac{3}{7}$$ **Ответ: Периметр комнаты $18\frac{3}{7}$ м.**