Решите уравнение $5^{2x-5}=125$

а) $5^{2x - 5} = 125$ Представим $125$ как степень числа $5$: $5^{2x - 5} = 5^3$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $2x - 5 = 3$ $2x = 3 + 5$ $2x = 8$ $x = \frac{8}{2}$ $x = 4$ **Ответ: $4$** б) $3^{5x - 2} = 27$ Представим $27$ как степень числа $3$: $3^{5x - 2} = 3^3$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $5x - 2 = 3$ $5x = 3 + 2$ $5x = 5$ $x = \frac{5}{5}$ $x = 1$ **Ответ: $1$** в) $7^{8x - 2} = 49$ Представим $49$ как степень числа $7$: $7^{8x - 2} = 7^2$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $8x - 2 = 2$ $8x = 2 + 2$ $8x = 4$ $x = \frac{4}{8}$ $x = \frac{1}{2}$ **Ответ: $\frac{1}{2}$** г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 3x} = 4$ Представим $4$ как степень числа $\frac{1}{2}$ (или $2$): $\left(2^{-1}\right)^{x^2 - 3x} = 2^2$ $2^{-(x^2 - 3x)} = 2^2$ $-(x^2 - 3x) = 2$ $-x^2 + 3x = 2$ $x^2 - 3x + 2 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ **Ответ: $1; 2$** д) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 + x} = \frac{1}{9}$ Представим $\frac{1}{9}$ как степень числа $\frac{1}{3}$: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 + x} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $x^2 + x = 2$ $x^2 + x - 2 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ **Ответ: $-2; 1$** е) $5^{x^2 - 2x} = 0,2$ Представим $0,2$ как обыкновенную дробь, а затем как степень числа $5$: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ Тогда уравнение примет вид: $5^{x^2 - 2x} = 5^{-1}$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $x^2 - 2x = -1$ $x^2 - 2x + 1 = 0$ Это квадрат разности: $(x - 1)^2 = 0$ $x - 1 = 0$ $x = 1$ **Ответ: $1$**