Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 51, а высота 1.

1. Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, нужно найти периметр основания и умножить его на высоту. В правильном шестиугольнике все стороны равны. Периметр основания $P = 6 \times a$, где $a$ — сторона основания. $P = 6 \times 51 = 306$ Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \times h$, где $h$ — высота призмы. $S_{бок} = 306 \times 1 = 306$ **Ответ: 306** 2. В равнобедренном треугольнике $ACK$ стороны $AK$ и $CK$ равны, значит, углы при основании $CA$ тоже равны: $\angle KAC = \angle KCA$. Внешний угол при вершине $C$ равен $99^\circ$. Внутренний угол $\angle KCA$ и внешний угол при вершине $C$ вместе составляют $180^\circ$, так как они смежные. $\angle KCA = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$ Так как $\angle KAC = \angle KCA$, то $\angle KAC = 81^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, $\angle K = 180^\circ - (\angle KAC + \angle KCA)$. $\angle K = 180^\circ - (81^\circ + 81^\circ) = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$ **Ответ: 18** 3. Основания равнобедренной трапеции равны $50$ и $114$, а боковые стороны равны $40$. Нужно найти синус острого угла трапеции. Проведём высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Пусть эти высоты делят большее основание на три отрезка. Крайние отрезки будут равны. Длина каждого из этих отрезков: $(114 - 50) / 2 = 64 / 2 = 32$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и этим отрезком. Пусть острый угол трапеции равен $\alpha$. Боковая сторона является гипотенузой, а отрезок $32$ — прилежащим катетом. Высоту трапеции $h$ найдём по теореме Пифагора: $h^2 + 32^2 = 40^2$ $h^2 + 1024 = 1600$ $h^2 = 1600 - 1024$ $h^2 = 576$ $h = \sqrt{576} = 24$ Синус острого угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета (высоты) к гипотенузе (боковой стороне). $\sin(\alpha) = h / 40 = 24 / 40$ Сократим дробь: $24 / 40 = (3 \times 8) / (5 \times 8) = 3 / 5 = 0,6$ **Ответ: 0,6**