Решить задания из контрольной работы.

1. Даны точки $A(2;-4;1)$ и $B(-2;0;3)$. Найдите: а) Координаты середины отрезка $AB$. Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка: $$M_x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ $$M_y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-4 + 0}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$M_z = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ **Ответ: $M(0;-2;2)$** б) Координаты и длину вектора $\vec{BA}$. Координаты вектора $\vec{BA}$ находятся путем вычитания координат начала вектора (точки $A$) из координат конца вектора (точки $B$): $$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B; z_A - z_B) = (2 - (-2); -4 - 0; 1 - 3) = (4; -4; -2)$$ Длина вектора $\vec{BA}$ (модуль вектора) вычисляется по формуле: $$|\vec{BA}| = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (z_A - z_B)^2}$$ $$|\vec{BA}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$$ **Ответ: $\vec{BA}=(4;-4;-2)$, $|\vec{BA}|=6$** в) Координаты точки $C$, если $\vec{CB} = \vec{BA}$. Пусть координаты точки $C$ будут $(x_C; y_C; z_C)$. Вектор $\vec{CB}$ имеет координаты $(x_B - x_C; y_B - y_C; z_B - z_C)$. Мы знаем, что $\vec{BA} = (4; -4; -2)$. Значит: $$x_B - x_C = 4 \implies -2 - x_C = 4 \implies x_C = -2 - 4 = -6$$ $$y_B - y_C = -4 \implies 0 - y_C = -4 \implies y_C = 4$$ $$z_B - z_C = -2 \implies 3 - z_C = -2 \implies z_C = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$ **Ответ: $C(-6;4;5)$** 2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, причем $\vec{a} = 6\vec{i} - 8\vec{j}$, $|\vec{b}|=1$, а $(\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ}$. Найдите: а) $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти по формуле: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$$ Сначала найдем длину вектора $\vec{a}$: $$|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ Теперь подставим значения в формулу: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 \cdot 1 \cdot \cos(60^{\circ}) = 10 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 5$$ **Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$** б) $(\vec{a} + 6\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6\vec{b})$. Используем свойства скалярного произведения и формулу $(X+Y)(X-Y) = X^2 - Y^2$: $$(\vec{a} + 6\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + 6\vec{b} \cdot \vec{a} - 36\vec{b} \cdot \vec{b}$$ Так как $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$, а также $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$: $$|\vec{a}|^2 - 36|\vec{b}|^2$$ Подставим известные значения: $$10^2 - 36 \cdot 1^2 = 100 - 36 \cdot 1 = 100 - 36 = 64$$ **Ответ: $(\vec{a} + 6\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6\vec{b}) = 64$** в) Значение $m$, при котором векторы $\vec{a}$ и $\vec{c} = \{4;1;m\}$ перпендикулярны. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(6;-8;0)$ (так как $\vec{a} = 6\vec{i} - 8\vec{j}$). Вектор $\vec{c} = (4;1;m)$. $$\vec{a} \cdot \vec{c} = (6)(4) + (-8)(1) + (0)(m) = 0$$ $$24 - 8 + 0 = 0$$ $$16 = 0$$ Это уравнение не имеет решения. Возможно, в условии задания есть опечатка в векторе $\vec{a}$ или $\vec{c}$, либо в постановке задачи. Если вектор $\vec{a}$ задан только двумя координатами, то он лежит в плоскости $XY$, и его третья координата равна нулю. **Допущение**: Если под вектором $\vec{a} = 6\vec{i} - 8\vec{j}$ подразумевается трехмерный вектор $(6; -8; 0)$, то решение такое. Если же подразумевалось, что $\vec{a}$ — двумерный вектор, а $\vec{c}$ — трехмерный, то задача некорректно поставлена для условия перпендикулярности в пространстве. Предположим, что $\vec{a}$ и $\vec{c}$ — векторы в трехмерном пространстве, и что $\vec{a}$ на самом деле имеет какую-то третью координату, или что вектор $\vec{c}$ имеет другие координаты. Если решать строго по данному условию $\vec{a} = 6\vec{i} - 8\vec{j}$, это означает $\vec{a} = (6, -8, 0)$. Тогда: $$\vec{a} \cdot \vec{c} = (6)(4) + (-8)(1) + (0)(m) = 24 - 8 + 0 = 16$$ Чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю, то есть $16=0$. Это неверно. **Недостаточно данных для решения или задача имеет некорректные входные данные.** 3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $1$ точка $O$ — центр грани $ABCD$. Используя метод координат, найдите: а) Угол между прямыми $A_1D$ и $B_1O$. Поместим куб в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0;0;0)$, а ребра куба лежали вдоль осей координат. Тогда координаты вершин будут: $A(0;0;0)$ $B(1;0;0)$ $C(1;1;0)$ $D(0;1;0)$ $A_1(0;0;1)$ $B_1(1;0;1)$ $C_1(1;1;1)$ $D_1(0;1;1)$ Точка $O$ — центр грани $ABCD$. Это середина диагонали $AC$ или $BD$. Координаты $O$: $$O = \left(\frac{0+1}{2}; \frac{0+1}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0\right)$$ Найдем векторы, соответствующие прямым $A_1D$ и $B_1O$: Вектор $\vec{A_1D} = (x_D - x_{A_1}; y_D - y_{A_1}; z_D - z_{A_1}) = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1)$. Вектор $\vec{B_1O} = (x_O - x_{B_1}; y_O - y_{B_1}; z_O - z_{B_1}) = \left(\frac{1}{2} - 1; \frac{1}{2} - 0; 0 - 1\right) = \left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; -1\right)$. Угол $\alpha$ между двумя векторами можно найти по формуле: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{A_1D} \cdot \vec{B_1O}|}{|\vec{A_1D}| \cdot |\vec{B_1O}|}$$ (Используем модуль скалярного произведения, чтобы получить острый угол). Найдем скалярное произведение векторов: $$\vec{A_1D} \cdot \vec{B_1O} = (0)\left(-\frac{1}{2}\right) + (1)\left(\frac{1}{2}\right) + (-1)(-1) = 0 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$ Найдем длины векторов: $$|\vec{A_1D}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{B_1O}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}$$ Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: $$\cos \alpha = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2 \cdot \frac{3}{2}}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Следовательно, угол $\alpha$ равен: $$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^{\circ}$$ **Ответ: Угол между прямыми $A_1D$ и $B_1O$ равен $30^{\circ}$** б) Расстояние от точки $B$ до середины отрезка $A_1D$. Точка $B$ имеет координаты $(1;0;0)$. Найдем середину отрезка $A_1D$. Пусть это будет точка $K$. Координаты $A_1(0;0;1)$ и $D(0;1;0)$. $$K_x = \frac{0+0}{2} = 0$$ $$K_y = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$K_z = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$$ Значит, $K\left(0; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$. Расстояние от точки $B(1;0;0)$ до точки $K\left(0; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$ найдем по формуле расстояния между двумя точками: $$BK = \sqrt{(x_K - x_B)^2 + (y_K - y_B)^2 + (z_K - z_B)^2}$$ $$BK = \sqrt{\left(0 - 1\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2}$$ $$BK = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ **Ответ: Расстояние от точки $B$ до середины отрезка $A_1D$ равно $\frac{\sqrt{6}}{2}$** 4. Дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. При симметрии относительно плоскости $ABC$ точка $D$ перешла в точку $D_1$. Найдите $DD_1$. Правильный тетраэдр $DABC$ — это пирамида, у которой все грани являются равносторонними треугольниками. Основание тетраэдра — это треугольник $ABC$. Точка $D$ — это вершина тетраэдра. Симметрия относительно плоскости $ABC$ означает, что точка $D_1$ будет находиться на таком же расстоянии от плоскости $ABC$, как и точка $D$, но по другую сторону от этой плоскости. При этом отрезок $DD_1$ будет перпендикулярен плоскости $ABC$ и его середина будет лежать в этой плоскости. Фактически, $DD_1$ — это удвоенная высота тетраэдра, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$. Пусть $H$ — высота тетраэдра. Для правильного тетраэдра с ребром $a$ высота $H$ вычисляется по формуле: $$H = a \sqrt{\frac{2}{3}}$$ Расстояние $DD_1$ будет в два раза больше высоты $H$: $$DD_1 = 2H = 2 \cdot a \sqrt{\frac{2}{3}} = 2a \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2a \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{2a\sqrt{6}}{3}$$ **Ответ: $DD_1 = \frac{2a\sqrt{6}}{3}$**