1) Даны точки: E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2). Найти: а) координаты векторов EF, GH

1) Даны точки: $E(4;12)$, $F(-4;-10)$, $G(-2;6)$, $H(4;-2)$ а) Координаты векторов EF и GH: Вектор EF: $(x_F - x_E; y_F - y_E) = (-4 - 4; -10 - 12) = (-8; -22)$ Вектор GH: $(x_H - x_G; y_H - y_G) = (4 - (-2); -2 - 6) = (4 + 2; -8) = (6; -8)$ **Ответ: EF(-8; -22), GH(6; -8)** б) Длина вектора FG: $|FG| = \sqrt{(x_G - x_F)^2 + (y_G - y_F)^2}$ $|FG| = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (6 - (-10))^2}$ $|FG| = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (6 + 10)^2}$ $|FG| = \sqrt{2^2 + 16^2} = \sqrt{4 + 256} = \sqrt{260}$ **Ответ: $\sqrt{260}$** в) Координаты точки O — середины EF, координаты точки W — середины GH: Координаты середины отрезка $ (\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2})$ Точка O (середина EF): $(\frac{4 + (-4)}{2}; \frac{12 + (-10)}{2}) = (\frac{0}{2}; \frac{2}{2}) = (0; 1)$ Точка W (середина GH): $(\frac{-2 + 4}{2}; \frac{6 + (-2)}{2}) = (\frac{2}{2}; \frac{4}{2}) = (1; 2)$ **Ответ: O(0; 1), W(1; 2)** г) OW; EH Длина отрезка OW: $|OW| = \sqrt{(x_W - x_O)^2 + (y_W - y_O)^2} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ Длина отрезка EH: $|EH| = \sqrt{(x_H - x_E)^2 + (y_H - y_E)^2} = \sqrt{(4 - 4)^2 + (-2 - 12)^2} = \sqrt{0^2 + (-14)^2} = \sqrt{196} = 14$ **Ответ: $|OW| = \sqrt{2}$, $|EH| = 14** д) Уравнение окружности с диаметром FG: Центр окружности — середина отрезка FG. Пусть это будет точка C. $C = (\frac{x_F + x_G}{2}; \frac{y_F + y_G}{2}) = (\frac{-4 + (-2)}{2}; \frac{-10 + 6}{2}) = (\frac{-6}{2}; \frac{-4}{2}) = (-3; -2)$ Радиус окружности R равен половине длины диаметра FG. $R = \frac{|FG|}{2} = \frac{\sqrt{260}}{2} = \sqrt{\frac{260}{4}} = \sqrt{65}$ Уравнение окружности: $(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2$ $(x - (-3))^2 + (y - (-2))^2 = (\sqrt{65})^2$ $(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 65$ **Ответ: $(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 65** е) Уравнение прямой FH: Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$ Точки F(-4; -10) и H(4; -2): $\frac{x - (-4)}{4 - (-4)} = \frac{y - (-10)}{-2 - (-10)}$ $\frac{x + 4}{4 + 4} = \frac{y + 10}{-2 + 10}$ $\frac{x + 4}{8} = \frac{y + 10}{8}$ $x + 4 = y + 10$ $y = x + 4 - 10$ $y = x - 6$ **Ответ: $y = x - 6** 2) Доказать, что ABCD — параллелограмм. $A(1;1), B(4;2), C(5;5), D(2;4)$ Для доказательства, что четырехугольник является параллелограммом, можно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине (то есть векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны). Вектор AB: $(4 - 1; 2 - 1) = (3; 1)$ Вектор DC: $(5 - 2; 5 - 4) = (3; 1)$ Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, то стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Вектор AD: $(2 - 1; 4 - 1) = (1; 3)$ Вектор BC: $(5 - 4; 5 - 2) = (1; 3)$ Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, то стороны AD и BC параллельны и равны по длине. Поскольку противоположные стороны попарно равны и параллельны, ABCD является параллелограммом. 3) Окружность задана уравнением $(x+2)^2+(y-5)^2=18$. Принадлежит ли этой окружности точка M(-5;2)? Чтобы проверить, принадлежит ли точка M(-5;2) окружности, нужно подставить её координаты в уравнение окружности. Если уравнение будет верным, то точка принадлежит окружности. $(x+2)^2+(y-5)^2=18$ Подставляем $x = -5$ и $y = 2$: $(-5+2)^2+(2-5)^2 = 18$ $(-3)^2+(-3)^2 = 18$ $9 + 9 = 18$ $18 = 18$ Уравнение верно, значит, точка M(-5;2) принадлежит окружности. **Ответ: Да, принадлежит.**