Найдите значение выражения $3\frac{3}{4} + 2\frac{4}{7}$

1. Найдите значение выражения: a) $3\frac{3}{4} + 2\frac{4}{7} = \frac{15}{4} + \frac{18}{7} = \frac{15 \cdot 7 + 18 \cdot 4}{28} = \frac{105 + 72}{28} = \frac{177}{28} = 6\frac{9}{28}$ б) $2\frac{4}{9} - 1\frac{5}{6} = \frac{22}{9} - \frac{11}{6} = \frac{22 \cdot 2 - 11 \cdot 3}{18} = \frac{44 - 33}{18} = \frac{11}{18}$ в) $7\frac{11}{15} - \left(3\frac{9}{20} + 1\frac{1}{30}\right)$ Сначала выполним сложение в скобках: $3\frac{9}{20} + 1\frac{1}{30} = \frac{69}{20} + \frac{31}{30}$ Общий знаменатель для 20 и 30 — это 60. $\frac{69}{20} + \frac{31}{30} = \frac{69 \cdot 3}{60} + \frac{31 \cdot 2}{60} = \frac{207}{60} + \frac{62}{60} = \frac{269}{60} = 4\frac{29}{60}$ Теперь вычтем: $7\frac{11}{15} - 4\frac{29}{60} = \frac{116}{15} - \frac{269}{60}$ Общий знаменатель для 15 и 60 — это 60. $\frac{116 \cdot 4}{60} - \frac{269}{60} = \frac{464}{60} - \frac{269}{60} = \frac{195}{60}$ Сократим дробь на 15: $\frac{195 \div 15}{60 \div 15} = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$ **Ответ:** а) $6\frac{9}{28}$; б) $\frac{11}{18}$; в) $3\frac{1}{4}$ 2. Масса одного станка $8\frac{3}{4}$ т, а другого — на $2\frac{1}{2}$ т меньше. Найдем массу второго станка: $8\frac{3}{4} - 2\frac{1}{2} = \frac{35}{4} - \frac{5}{2} = \frac{35}{4} - \frac{10}{4} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$ т. Теперь найдем общую массу обоих станков: $8\frac{3}{4} + 6\frac{1}{4} = (8+6) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 14 + \frac{4}{4} = 14 + 1 = 15$ т. **Ответ: 15 т** 3. Хозяйка рассчитывала за $1\frac{1}{6}$ ч приготовить обед и $2\frac{2}{5}$ ч потратить на стирку белья. Однако на всю работу у нее ушло на $\frac{3}{4}$ ч больше. Сначала найдем, сколько времени хозяйка рассчитывала потратить: $1\frac{1}{6} + 2\frac{2}{5} = \frac{7}{6} + \frac{12}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 12 \cdot 6}{30} = \frac{35 + 72}{30} = \frac{107}{30}$ ч. Теперь добавим к этому времени $\frac{3}{4}$ ч, так как ушло больше: $\frac{107}{30} + \frac{3}{4}$ Общий знаменатель для 30 и 4 — это 60. $\frac{107 \cdot 2}{60} + \frac{3 \cdot 15}{60} = \frac{214}{60} + \frac{45}{60} = \frac{259}{60} = 4\frac{19}{60}$ ч. **Ответ: $4\frac{19}{60}$ ч** 4. Решите уравнение $t + 2\frac{11}{52} = 7\frac{5}{39}$. Чтобы найти $t$, нужно вычесть $2\frac{11}{52}$ из $7\frac{5}{39}$: $t = 7\frac{5}{39} - 2\frac{11}{52}$ Переведем смешанные дроби в неправильные: $7\frac{5}{39} = \frac{7 \cdot 39 + 5}{39} = \frac{273 + 5}{39} = \frac{278}{39}$ $2\frac{11}{52} = \frac{2 \cdot 52 + 11}{52} = \frac{104 + 11}{52} = \frac{115}{52}$ $t = \frac{278}{39} - \frac{115}{52}$ Найдем общий знаменатель для 39 и 52. $39 = 3 \cdot 13$, $52 = 4 \cdot 13$. Общий знаменатель $3 \cdot 4 \cdot 13 = 156$. $t = \frac{278 \cdot 4}{156} - \frac{115 \cdot 3}{156} = \frac{1112}{156} - \frac{345}{156} = \frac{767}{156}$ Выделим целую часть: $$ \begin{array}{ccc|l} 7 & 6 & 7 & 156 \\ \hline 6 & 2 & 4 & 4\frac{13}{156} \\ \hline 1 & 4 & 3 \end{array} $$ $t = 4\frac{143}{156}$ **Ответ: $t = 4\frac{143}{156}$** 5. Разложите число 126 на два взаимно простых множителя четырьмя различными способами (разложения, отличающиеся только порядком множителей, считать за один способ). Найдем простые множители числа 126: $126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 3 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$. Теперь скомбинируем эти простые множители в два взаимно простых множителя. Взаимно простые числа не имеют общих простых множителей. Способы: 1. $126 = 1 \cdot 126$. Числа 1 и 126 взаимно простые (1 взаимно просто с любым числом). 2. $126 = 2 \cdot 63$. Простые множители 2 и 3, 7. Общих нет, значит, 2 и 63 взаимно простые. 3. $126 = 7 \cdot 18$. Простые множители 7 и 2, 3. Общих нет, значит, 7 и 18 взаимно простые. 4. $126 = 9 \cdot 14$. Простые множители 3 и 2, 7. Общих нет, значит, 9 и 14 взаимно простые. **Ответ:** 1. $1 \cdot 126$ 2. $2 \cdot 63$ 3. $7 \cdot 18$ 4. $9 \cdot 14$