Реши систему уравнений: а) $x^2 - 2y^2 = 14$ $x^2 + 2y^2 = 18$

392. Реши систему уравнений: a) $$\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14 \\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18$$ $$2x^2 = 32$$ $$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$ Подставим $x^2 = 16$ во второе уравнение: $$16 + 2y^2 = 18$$ $$2y^2 = 18 - 16$$ $$2y^2 = 2$$ $$y^2 = 1$$ $$y = \pm 1$$ Таким образом, мы получаем четыре пары решений: $$x_1 = 4, y_1 = 1$$ $$x_2 = 4, y_2 = -1$$ $$x_3 = -4, y_3 = 1$$ $$x_4 = -4, y_4 = -1$$ **Ответ:** $(4; 1), (4; -1), (-4; 1), (-4; -1)$ б) $$\begin{cases} x^2 - y^2 = 15 \\ x^2 + y^2 = 17 \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 15 + 17$$ $$2x^2 = 32$$ $$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$ Подставим $x^2 = 16$ во второе уравнение: $$16 + y^2 = 17$$ $$y^2 = 17 - 16$$ $$y^2 = 1$$ $$y = \pm 1$$ Таким образом, мы получаем четыре пары решений: $$x_1 = 4, y_1 = 1$$ $$x_2 = 4, y_2 = -1$$ $$x_3 = -4, y_3 = 1$$ $$x_4 = -4, y_4 = -1$$ **Ответ:** $(4; 1), (4; -1), (-4; 1), (-4; -1)$ в) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $$y = \frac{3}{x}$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10$$ $$x^2 + \frac{9}{x^2} = 10$$ Умножим всё на $x^2$ (при условии $x \neq 0$): $$x^4 + 9 = 10x^2$$ $$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$$ Сделаем замену переменной: $t = x^2$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 10t + 9 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$$ $$t_1 = \frac{-(-10) + 8}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{-(-10) - 8}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Теперь вернемся к замене $t = x^2$: 1. Если $t_1 = 9$: $$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$ Если $x = 3$, то $y = \frac{3}{3} = 1$ Если $x = -3$, то $y = \frac{3}{-3} = -1$ 2. Если $t_2 = 1$: $$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Если $x = 1$, то $y = \frac{3}{1} = 3$ Если $x = -1$, то $y = \frac{3}{-1} = -3$$ Таким образом, мы получаем четыре пары решений: $$x_1 = 3, y_1 = 1$$ $$x_2 = -3, y_2 = -1$$ $$x_3 = 1, y_3 = 3$$ $$x_4 = -1, y_4 = -3$$ **Ответ:** $(3; 1), (-3; -1), (1; 3), (-1; -3)$