Вычислить \log_5 125

1. Вычислить: 1) $$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$$ **Ответ: 3** 2) $$\lg 0,01 = \lg \frac{1}{100} = \lg 10^{-2} = -2$$ **Ответ: -2** 3) $$2^{\log_2 3} = 3$$ **Ответ: 3** 4) $$3^{2\log_3 7} = 3^{\log_3 7^2} = 3^{\log_3 49} = 49$$ **Ответ: 49** 5) $$\log_2 68 - \log_2 17 = \log_2 \frac{68}{17} = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$$ **Ответ: 2** 2. Построить схематически график функции: 1) $y = \log_{0,2} x$ Логарифмическая функция с основанием $0 < a < 1$ (в нашем случае $a = 0,2$) является убывающей. График проходит через точку $(1; 0)$. :::div .chart-container @chart-1::: 2) $y = \log_2 x$ Логарифмическая функция с основанием $a > 1$ (в нашем случае $a = 2$) является возрастающей. График проходит через точку $(1; 0)$. :::div .chart-container @chart-2::: 3. Сравнить числа: 1) $$\log_{0,2} 3$$ и $$\log_{0,2} 2,5$$ Основание логарифма $0,2$ находится в диапазоне $0 < a < 1$, поэтому чем больше число под знаком логарифма, тем меньше значение логарифма. Так как $3 > 2,5$, то $$\log_{0,2} 3 < \log_{0,2} 2,5$$ **Ответ: $$\log_{0,2} 3 < \log_{0,2} 2,5$$** 2) $$\log_2 0,7$$ и $$\log_2 1,2$$ Основание логарифма $2$ находится в диапазоне $a > 1$, поэтому чем больше число под знаком логарифма, тем больше значение логарифма. Так как $0,7 < 1,2$, то $$\log_2 0,7 < \log_2 1,2$$ **Ответ: $$\log_2 0,7 < \log_2 1,2$$** 4. Решить уравнение: 1) $$\log_5 (3x + 1) = 2$$ ОДЗ: $3x + 1 > 0 \Rightarrow 3x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}$. $$3x + 1 = 5^2$$ $$3x + 1 = 25$$ $$3x = 24$$ $$x = 8$$ Проверим ОДЗ: $8 > -\frac{1}{3}$. Подходит. **Ответ: 8** 2) $$\log_3 (x + 2) + \log_3 x = 1$$ ОДЗ: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$ и $x > 0$. Значит $x > 0$. $$\log_3 (x(x + 2)) = 1$$ $$x(x + 2) = 3^1$$ $$x^2 + 2x = 3$$ $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ Используем теорему Виета или дискриминант: $(x+3)(x-1)=0$ $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Проверим ОДЗ: $x_1 = -3$ не подходит, так как $-3 \ngtr 0$. $x_2 = 1$ подходит, так как $1 > 0$. **Ответ: 1** 3) $$\ln (x^2 - 6x + 9) = \ln 3 + \ln (x + 3)$$ ОДЗ: $x^2 - 6x + 9 > 0$ и $x + 3 > 0$. $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 > 0 \Rightarrow x \neq 3$. $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$. Итого ОДЗ: $x > -3$ и $x \neq 3$. $$\ln (x - 3)^2 = \ln (3(x + 3))$$ $$(x - 3)^2 = 3(x + 3)$$ $$x^2 - 6x + 9 = 3x + 9$$ $$x^2 - 9x = 0$$ $$x(x - 9) = 0$$ $x_1 = 0$, $x_2 = 9$. Проверим ОДЗ: $x_1 = 0$ подходит, так как $0 > -3$ и $0 \neq 3$. $x_2 = 9$ подходит, так как $9 > -3$ и $9 \neq 3$. **Ответ: 0; 9** 5. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} \ln x - \ln y = \ln 3 \\ x - 2y = 5 \end{cases}$$ ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$. Из первого уравнения: $$\ln \frac{x}{y} = \ln 3$$ $$\frac{x}{y} = 3$$ $$x = 3y$$ Подставим $x = 3y$ во второе уравнение: $$3y - 2y = 5$$ $$y = 5$$ Теперь найдем $x$: $$x = 3 \cdot 5 = 15$$ Проверим ОДЗ: $x = 15 > 0$, $y = 5 > 0$. Подходит. **Ответ: $(15; 5)$** 6. Решить неравенство: 1) $$\log_3 (x - 1) \le 2$$ ОДЗ: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется. $$x - 1 \le 3^2$$ $$x - 1 \le 9$$ $$x \le 10$$ С учетом ОДЗ: $1 < x \le 10$. **Ответ: $(1; 10]$** 2) $$\log_{\frac{1}{5}} (2 - x) > -1$$ ОДЗ: $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{5} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный. $$2 - x < \left(\frac{1}{5}\right)^{-1}$$ $$2 - x < 5$$ $$-x < 3$$ $$x > -3$$ С учетом ОДЗ: $-3 < x < 2$. **Ответ: $(-3; 2)$**