1. Мячик упал с высоты 2 м, отскочил от земли и был пойман на половине высоты. Чему равны путь и перемещение мячика?

1. Мячик падает с высоты 2 м. Точка отсчета находится на земле. Мячик был пойман на половине высоты, то есть на 1 м. Путь — это общая длина траектории, которую прошло тело. Мячик упал с 2 м и был пойман на 1 м от земли, значит он прошел 2 м (вниз) - 1 м (отскок вверх) = 1 м вниз. Однако, если мячик упал с 2м и был пойман на половине высоты, то он пролетел 2 метра вниз до земли, отскочил и поднялся на 1 метр вверх. Значит пройденный путь 2+1 = 3м. Иначе, если он не долетел до земли, то путь составит 2-1=1м. Но чаще подразумевается, что падение до земли и отскок. **Допущение: Мячик сначала упал до земли, а потом отскочил и был пойман на половине высоты.** Путь, пройденный мячиком: $S = 2 \text{ м} + (2 \text{ м} / 2) = 2 + 1 = 3 \text{ м}$. Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Начальное положение мячика на высоте 2 м, конечное положение — на высоте 1 м. Модуль перемещения: $|\Delta r| = |1 \text{ м} - 2 \text{ м}| = 1 \text{ м}$. **Ответ:** путь **3** м; перемещение **1** м 2. По графику зависимости координаты от времени скорость определяется как изменение координаты за время: $$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$$ На графике видно, что при $t = 0$ с, $x = 4$ м. При $t = 4$ с, $x = 0$ м. $$v = \frac{0 - 4}{4 - 0} = \frac{-4}{4} = -1 \text{ м/с}$$ Модуль скорости (её значение): $|v| = |-1 \text{ м/с}| = 1 \text{ м/с}$. **Ответ:** **1** м/с 3. Для того чтобы найти момент времени, когда точки встретятся, нужно приравнять их координаты: $$x_1 = x_2$$ $$10 - 2t = 4 + 5t$$ Перенесем слагаемые с $t$ в одну сторону, а числа — в другую: $$10 - 4 = 5t + 2t$$ $$6 = 7t$$ $$t = \frac{6}{7} \text{ с}$$ **Ответ:** $\frac{6}{7}$ с 4. Скорость моторной лодки по течению реки: $v_1 = v_{собст} + v_{теч} = 7 \text{ м/с}$. Скорость моторной лодки против течения реки: $v_2 = v_{собст} - v_{теч} = 3 \text{ м/с}$. Из этих двух уравнений можем найти скорость течения реки: Сложим оба уравнения: $(v_{собст} + v_{теч}) + (v_{собст} - v_{теч}) = 7 + 3$ $2v_{собст} = 10$ $v_{собст} = 5 \text{ м/с}$ Теперь подставим $v_{собст}$ в первое уравнение: $5 + v_{теч} = 7$ $v_{теч} = 7 - 5 = 2 \text{ м/с}$ **Ответ:** **2** м/с 5. Рассмотрим график зависимости координаты от времени для тела. Утверждения: 1) В момент времени $t_1$ тело имело максимальную по модулю скорость. Это неверно, так как на участке OA скорость постоянна и не является максимальной по модулю. Максимальная по модулю скорость на участке BC. 2) Участок BC соответствует ускоренному движению тела. Это неверно. На участке BC скорость тела отрицательна и постоянна, значит это равномерное движение. 3) Участок AB соответствует состоянию покоя тела. Это верно, так как координата не меняется со временем. 4) В момент времени $t_2$ тело изменило направление своего движения. Это неверно. В момент $t_2$ тело достигает начала координат. 5) Участок OA соответствует равномерному движению тела. Это верно, так как координата линейно зависит от времени, а наклон прямой постоянен. Таким образом, верные утверждения: 3) и 5). **Ответ:** 3) Участок AB соответствует состоянию покоя тела. 5) Участок OA соответствует равномерному движению тела. 6. По графику скорости определим ускорение. На графике представлен график зависимости скорости от времени (v, м/с) от времени (t, с). Ускорение определяется как изменение скорости за время: $$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$ Из графика видно, что при $t = 0$ с, $v = 0$ м/с. При $t = 4$ с, $v = 8$ м/с. $$a = \frac{8 - 0}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2 \text{ м/с}^2$$ **Ответ:** **2** м/с$^2$ 7. Катер трогается с места с ускорением $a = 8 \text{ м/с}^2$. Перемещение за время $t = 2$ с можно найти по формуле: $$S = v_0t + \frac{at^2}{2}$$ Так как катер трогается с места, начальная скорость $v_0 = 0 \text{ м/с}$. $$S = 0 \cdot 2 + \frac{8 \cdot 2^2}{2} = \frac{8 \cdot 4}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ м}$$ **Ответ:** **16** м 8. Тело движется вдоль оси Ox с постоянным ускорением. Начальная скорость $\vec{v}_0$ и ускорение $\vec{a}$ тела указаны на рисунке. На рисунке видно, что вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен в положительном направлении оси Ox, а вектор ускорения $\vec{a}$ направлен в отрицательном направлении оси Ox. Это означает, что скорость тела будет уменьшаться, так как ускорение направлено против скорости. Движение будет равнозамедленным. **Ответ:** Равнозамедленное движение.