Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки. а) А(1, -4), В(4, 5), С(3, -2)

Напишем уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Общее уравнение окружности имеет вид $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$ где $(a,b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. Подставим координаты каждой точки в это уравнение: а) $A(1, -4)$, $B(4, 5)$, $C(3, -2)$ Для точки A(1, -4): $$(1-a)^2 + (-4-b)^2 = R^2 \quad (1)$$ Для точки B(4, 5): $$(4-a)^2 + (5-b)^2 = R^2 \quad (2)$$ Для точки C(3, -2): $$(3-a)^2 + (-2-b)^2 = R^2 \quad (3)$$ Раскроем скобки в каждом уравнении: $1 - 2a + a^2 + 16 + 8b + b^2 = R^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - 2a + 8b + 17 = R^2 \quad (1')$ $16 - 8a + a^2 + 25 - 10b + b^2 = R^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - 8a - 10b + 41 = R^2 \quad (2')$ $9 - 6a + a^2 + 4 + 4b + b^2 = R^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - 6a + 4b + 13 = R^2 \quad (3')$ Теперь вычтем из первого уравнения второе, а из второго третье, чтобы избавиться от $a^2 + b^2$ и $R^2$: Из $(1')$ вычтем $(2')$: $$(a^2 + b^2 - 2a + 8b + 17) - (a^2 + b^2 - 8a - 10b + 41) = 0$$ $$-2a + 8b + 17 + 8a + 10b - 41 = 0$$ $$6a + 18b - 24 = 0$$ $$a + 3b - 4 = 0 \quad (4)$$ Из $(2')$ вычтем $(3')$: $$(a^2 + b^2 - 8a - 10b + 41) - (a^2 + b^2 - 6a + 4b + 13) = 0$$ $$-8a - 10b + 41 + 6a - 4b - 13 = 0$$ $$-2a - 14b + 28 = 0$$ $$a + 7b - 14 = 0 \quad (5)$$ Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$: $$\begin{cases} a + 3b - 4 = 0 \\ a + 7b - 14 = 0 \end{cases}$$ Вычтем из второго уравнения первое: $$(a + 7b - 14) - (a + 3b - 4) = 0$$ $$4b - 10 = 0$$ $$4b = 10$$ $$b = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$$ Подставим $b = 2.5$ в уравнение (4): $$a + 3(2.5) - 4 = 0$$ $$a + 7.5 - 4 = 0$$ $$a + 3.5 = 0$$ $$a = -3.5$$ Мы нашли центр окружности $(a,b) = (-3.5, 2.5)$. Теперь найдём радиус $R^2$, подставив $a$ и $b$ в одно из первоначальных уравнений, например, в $(1')$: $$R^2 = a^2 + b^2 - 2a + 8b + 17$$ $$R^2 = (-3.5)^2 + (2.5)^2 - 2(-3.5) + 8(2.5) + 17$$ $$R^2 = 12.25 + 6.25 + 7 + 20 + 17$$ $$R^2 = 62.5$$ Уравнение окружности: $$(x - (-3.5))^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$$ $$(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$$ **Ответ:** а) $$(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$$