На рисунке 73, а $AB = BC$, $\angle 1 = 130^{\circ}$. Найдите $\angle 2$.

1. На рисунке 73, а: $\triangle ABC$ равнобедренный, так как $AB = BC$. Это значит, что углы при основании $AC$ равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Также известно, что $\angle 1 = \angle BCA = 130^{\circ}$. Однако, $\angle BCA$ — это угол внутри треугольника, и он не может быть тупым, если $\angle BAC$ также тупой. Возможно, $\angle 1$ — это внешний угол. Если $\angle 1$ — это внешний угол при вершине $C$, смежный с $\angle BCA$, тогда $\angle BCA = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$. Тогда $\angle BAC = \angle BCA = 50^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, значит $\angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. Угол $\angle 2$ на рисунке — это $\angle ABC$. Но если $\angle 1$ это $\angle BCD$, то тогда $\angle BCA=180-130=50^{\circ}$ и $\angle BAC=50^{\circ}$. Тогда $\angle 2 = \angle ABC = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 80^{\circ}$. **Ответ: $\angle 2 = 80^{\circ}$** 2. Дан равнобедренный треугольник $DEK$ с основанием $DK = 16$ см. Отрезок $EF$ — биссектриса угла $\angle DEF$, и $\angle DEF = 43^{\circ}$. Нужно найти $KF$ и $\angle EFD$. Так как $EF$ — биссектриса $\angle DEF$, то она делит этот угол пополам. То есть $\angle DEF = \angle FEK$. Но в условии указано, что $\angle DEF = 43^{\circ}$ — это, скорее всего, опечатка. Вероятно, имелось в виду $\angle DEK = 43^{\circ}$. Допущение: $\angle DEK = 43^{\circ}$. Если $EF$ — биссектриса угла $\angle DEK$, то $\angle DEF = \angle FEK = \frac{\angle DEK}{2} = \frac{43^{\circ}}{2} = 21.5^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике $DEK$ боковые стороны $DE$ и $EK$ равны. Углы при основании $DK$ равны, то есть $\angle EDK = \angle EKD$. Сумма углов в $\triangle DEK$ равна $180^{\circ}$: $\angle DEK + \angle EDK + \angle EKD = 180^{\circ}$ $43^{\circ} + 2\angle EDK = 180^{\circ}$ $2\angle EDK = 180^{\circ} - 43^{\circ}$ $2\angle EDK = 137^{\circ}$ $\angle EDK = \frac{137^{\circ}}{2} = 68.5^{\circ}$ Итак, $\angle EDK = \angle EKD = 68.5^{\circ}$. Теперь рассмотрим $\triangle EFD$. Мы знаем $\angle DEF = 21.5^{\circ}$ и $\angle EDF = 68.5^{\circ}$. Сумма углов в $\triangle EFD$ равна $180^{\circ}$: $\angle EFD = 180^{\circ} - (\angle DEF + \angle EDF) = 180^{\circ} - (21.5^{\circ} + 68.5^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. Так как $\angle EFD = 90^{\circ}$, то треугольник $EFD$ — прямоугольный. По условию $DK = 16$ см. Так как $EF$ — биссектриса, то по свойству биссектрисы в треугольнике $DEK$ она делит противоположную сторону $DK$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{DF}{FK} = \frac{DE}{EK}$. Так как $\triangle DEK$ равнобедренный, $DE = EK$, то $\frac{DF}{FK} = 1$, что означает $DF = FK$. Значит, $F$ — середина отрезка $DK$. Тогда $KF = \frac{DK}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. **Ответ: $KF = 8$ см, $\angle EFD = 90^{\circ}$**