1. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной и вычислите: a) $0,2 + \frac{1}{7}$

1. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной и вычислите: a) $0,2 + \frac{1}{7}$ Сначала представим $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Теперь сложим дроби: $$ \frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{7}{35} + \frac{5}{35} = \frac{7+5}{35} = \frac{12}{35} $$ **Ответ: $\frac{12}{35}$** б) $3,45 + \frac{3}{4}$ Представим $3,45$ в виде обыкновенной дроби: $3,45 = 3\frac{45}{100} = 3\frac{9}{20} = \frac{3 \cdot 20 + 9}{20} = \frac{60+9}{20} = \frac{69}{20}$. Теперь сложим дроби: $$ \frac{69}{20} + \frac{3}{4} = \frac{69}{20} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{69}{20} + \frac{15}{20} = \frac{69+15}{20} = \frac{84}{20} $$ Можно сократить дробь на 4: $$ \frac{84}{20} = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5} $$ **Ответ: $4\frac{1}{5}$** в) $2,7 + \frac{23}{25}$ Представим $2,7$ в виде обыкновенной дроби: $2,7 = 2\frac{7}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{20+7}{10} = \frac{27}{10}$. Теперь сложим дроби: $$ \frac{27}{10} + \frac{23}{25} = \frac{27 \cdot 5}{10 \cdot 5} + \frac{23 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{135}{50} + \frac{46}{50} = \frac{135+46}{50} = \frac{181}{50} = 3\frac{31}{50} $$ **Ответ: $3\frac{31}{50}$** г) $0,75 - \frac{7}{42}$ Представим $0,75$ в виде обыкновенной дроби: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Сократим дробь $\frac{7}{42}$: $\frac{7}{42} = \frac{1}{6}$. Теперь вычтем дроби: $$ \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} $$ **Ответ: $\frac{7}{12}$** 2. Вычислите сначала в обыкновенных дробях, а потом в десятичных: a) $0,4 - \frac{3}{11}$ В обыкновенных дробях: Представим $0,4$ как $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. $$ \frac{2}{5} - \frac{3}{11} = \frac{2 \cdot 11}{5 \cdot 11} - \frac{3 \cdot 5}{11 \cdot 5} = \frac{22}{55} - \frac{15}{55} = \frac{22-15}{55} = \frac{7}{55} $$ В десятичных дробях: $\frac{7}{55} \approx 0,12727...$ (бесконечная периодическая дробь). Запишем результат в виде обыкновенной дроби. **Ответ: $\frac{7}{55}$** б) $1,1 - \frac{7}{8}$ В обыкновенных дробях: Представим $1,1$ как $1\frac{1}{10} = \frac{11}{10}$. $$ \frac{11}{10} - \frac{7}{8} = \frac{11 \cdot 4}{10 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{44}{40} - \frac{35}{40} = \frac{44-35}{40} = \frac{9}{40} $$ В десятичных дробях: $$ \frac{9}{40} = 0,225 $$ **Ответ: $0,225$** 3. Вычислите: а) $23 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{4})$ Сначала выполним действие в скобках: $$ \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12} $$ Теперь вычтем: $$ 23 - \frac{5}{12} = \frac{23 \cdot 12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{276}{12} - \frac{5}{12} = \frac{276-5}{12} = \frac{271}{12} = 22\frac{7}{12} $$ **Ответ: $22\frac{7}{12}$** б) $35 - (\frac{3}{5} - \frac{4}{7})$ Сначала выполним действие в скобках: $$ \frac{3}{5} - \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{21}{35} - \frac{20}{35} = \frac{1}{35} $$ Теперь вычтем: $$ 35 - \frac{1}{35} = \frac{35 \cdot 35}{35} - \frac{1}{35} = \frac{1225}{35} - \frac{1}{35} = \frac{1225-1}{35} = \frac{1224}{35} = 34\frac{34}{35} $$ **Ответ: $34\frac{34}{35}$** в) $11 - (\frac{2}{3} - \frac{3}{20})$ Сначала выполним действие в скобках: $$ \frac{2}{3} - \frac{3}{20} = \frac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20} - \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{40}{60} - \frac{9}{60} = \frac{31}{60} $$ Теперь вычтем: $$ 11 - \frac{31}{60} = \frac{11 \cdot 60}{60} - \frac{31}{60} = \frac{660}{60} - \frac{31}{60} = \frac{660-31}{60} = \frac{629}{60} = 10\frac{29}{60} $$ **Ответ: $10\frac{29}{60}$** г) $\frac{5}{18} + (\frac{2}{9} + \frac{1}{27})$ Сначала выполним действие в скобках: $$ \frac{2}{9} + \frac{1}{27} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27} = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27} $$ Теперь сложим: $$ \frac{5}{18} + \frac{7}{27} = \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{15}{54} + \frac{14}{54} = \frac{15+14}{54} = \frac{29}{54} $$ **Ответ: $\frac{29}{54}$** 4. Найдите значение выражения: a) $\frac{7}{11} + \frac{11}{60}$ $$ \frac{7}{11} + \frac{11}{60} = \frac{7 \cdot 60}{11 \cdot 60} + \frac{11 \cdot 11}{60 \cdot 11} = \frac{420}{660} + \frac{121}{660} = \frac{420+121}{660} = \frac{541}{660} $$ **Ответ: $\frac{541}{660}$** б) $\frac{27}{56} - \frac{5}{42}$ $$ \frac{27}{56} - \frac{5}{42} $$ Найдем наименьший общий знаменатель для 56 и 42. $56 = 2^3 \cdot 7$ $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ НОК$(56, 42) = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$ $$ \frac{27 \cdot 3}{56 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{42 \cdot 4} = \frac{81}{168} - \frac{20}{168} = \frac{81-20}{168} = \frac{61}{168} $$ **Ответ: $\frac{61}{168}$** в) $\frac{11}{72} - \frac{7}{54}$ $$ \frac{11}{72} - \frac{7}{54} $$ Найдем наименьший общий знаменатель для 72 и 54. $72 = 2^3 \cdot 3^2$ $54 = 2 \cdot 3^3$ НОК$(72, 54) = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$ $$ \frac{11 \cdot 3}{72 \cdot 3} - \frac{7 \cdot 4}{54 \cdot 4} = \frac{33}{216} - \frac{28}{216} = \frac{33-28}{216} = \frac{5}{216} $$ **Ответ: $\frac{5}{216}$** г) $\frac{16}{45} + \frac{17}{60}$ $$ \frac{16}{45} + \frac{17}{60} $$ Найдем наименьший общий знаменатель для 45 и 60. $45 = 3^2 \cdot 5$ $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ НОК$(45, 60) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ $$ \frac{16 \cdot 4}{45 \cdot 4} + \frac{17 \cdot 3}{60 \cdot 3} = \frac{64}{180} + \frac{51}{180} = \frac{64+51}{180} = \frac{115}{180} $$ Можно сократить дробь на 5: $$ \frac{115}{180} = \frac{23}{36} $$ **Ответ: $\frac{23}{36}$** 5. Выполните действия: a) $\frac{19}{24} - \frac{25}{32} + (\frac{2}{48} + \frac{1}{96})$ Сначала выполним действие в скобках: $$ \frac{2}{48} + \frac{1}{96} = \frac{1}{24} + \frac{1}{96} = \frac{1 \cdot 4}{24 \cdot 4} + \frac{1}{96} = \frac{4}{96} + \frac{1}{96} = \frac{5}{96} $$ Теперь выполним остальные действия: $$ \frac{19}{24} - \frac{25}{32} + \frac{5}{96} $$ Найдем наименьший общий знаменатель для 24, 32 и 96. $24 = 2^3 \cdot 3$ $32 = 2^5$ $96 = 2^5 \cdot 3$ НОК$(24, 32, 96) = 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96$ $$ \frac{19 \cdot 4}{24 \cdot 4} - \frac{25 \cdot 3}{32 \cdot 3} + \frac{5}{96} = \frac{76}{96} - \frac{75}{96} + \frac{5}{96} = \frac{76-75+5}{96} = \frac{1+5}{96} = \frac{6}{96} $$ Сократим дробь на 6: $$ \frac{6}{96} = \frac{1}{16} $$ **Ответ: $\frac{1}{16}$** б) $(\frac{11}{12} - \frac{3}{15}) + (\frac{7}{20} - \frac{1}{30})$ Сначала выполним действия в первых скобках: $$ \frac{11}{12} - \frac{3}{15} $$ Сократим $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. $$ \frac{11}{12} - \frac{1}{5} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{55}{60} - \frac{12}{60} = \frac{43}{60} $$ Теперь выполним действия во вторых скобках: $$ \frac{7}{20} - \frac{1}{30} $$ Найдем наименьший общий знаменатель для 20 и 30. $20 = 2^2 \cdot 5$ $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ НОК$(20, 30) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ $$ \frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{21}{60} - \frac{2}{60} = \frac{19}{60} $$ Теперь сложим полученные результаты: $$ \frac{43}{60} + \frac{19}{60} = \frac{43+19}{60} = \frac{62}{60} $$ Сократим дробь на 2: $$ \frac{62}{60} = \frac{31}{30} = 1\frac{1}{30} $$ **Ответ: $1\frac{1}{30}$** в) $z + \frac{5}{12} = \frac{9}{20} - \frac{11}{15}$ Сначала вычислим правую часть уравнения: $$ \frac{9}{20} - \frac{11}{15} $$ Найдем наименьший общий знаменатель для 20 и 15. $20 = 2^2 \cdot 5$ $15 = 3 \cdot 5$ НОК$(20, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ $$ \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{27}{60} - \frac{44}{60} = \frac{27-44}{60} = \frac{-17}{60} $$ Теперь у нас уравнение: $$ z + \frac{5}{12} = -\frac{17}{60} $$ Чтобы найти $z$, вычтем $\frac{5}{12}$ из обеих частей: $$ z = -\frac{17}{60} - \frac{5}{12} = -\frac{17}{60} - \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = -\frac{17}{60} - \frac{25}{60} = \frac{-17-25}{60} = \frac{-42}{60} $$ Сократим дробь на 6: $$ z = -\frac{42}{60} = -\frac{7}{10} $$ **Ответ: $z = -\frac{7}{10}$** г) $\frac{5}{4} - (x + \frac{1}{60}) = \frac{2}{3}$ Раскроем скобки: $$ \frac{5}{4} - x - \frac{1}{60} = \frac{2}{3} $$ Чтобы найти $x$, перенесем $x$ в правую часть, а $\frac{2}{3}$ в левую: $$ \frac{5}{4} - \frac{1}{60} - \frac{2}{3} = x $$ Найдем общий знаменатель для 4, 60 и 3. НОК$(4, 60, 3) = 60$. $$ x = \frac{5 \cdot 15}{4 \cdot 15} - \frac{1}{60} - \frac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{75}{60} - \frac{1}{60} - \frac{40}{60} = \frac{75-1-40}{60} = \frac{74-40}{60} = \frac{34}{60} $$ Сократим дробь на 2: $$ x = \frac{34}{60} = \frac{17}{30} $$ **Ответ: $x = \frac{17}{30}$** 6. Решите уравнение: a) $t - \frac{11}{18} = \frac{11}{12} - \frac{5}{9}$ Сначала вычислим правую часть уравнения: $$ \frac{11}{12} - \frac{5}{9} $$ Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 9. $12 = 2^2 \cdot 3$ $9 = 3^2$ НОК$(12, 9) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ $$ \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{33}{36} - \frac{20}{36} = \frac{13}{36} $$ Теперь у нас уравнение: $$ t - \frac{11}{18} = \frac{13}{36} $$ Чтобы найти $t$, прибавим $\frac{11}{18}$ к обеим частям: $$ t = \frac{13}{36} + \frac{11}{18} = \frac{13}{36} + \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{13}{36} + \frac{22}{36} = \frac{13+22}{36} = \frac{35}{36} $$ **Ответ: $t = \frac{35}{36}$** б) $y - (\frac{9}{10} - z) = \frac{5}{6}$ Вероятно, в условии задачи вместо $z$ должна быть конкретная цифра или это часть более сложного задания, где $z$ известно. **Допущение: $z$ является переменной, а не неизвестным числом, и в данном уравнении есть опечатка. Будем считать, что там было число, а не переменная $z$.** Если это уравнение с двумя переменными ($y$ и $z$), то его нельзя решить однозначно. в) $z + \frac{5}{12} = \frac{9}{20} - \frac{11}{15}$ Это задание повторяется с заданием 5в. Решение уже дано выше. **Ответ: $z = -\frac{7}{10}$** 7. Вычислите: a) $14 + 0,09 - \frac{1}{4}$ Сначала переведем $\frac{1}{4}$ в десятичную дробь: $\frac{1}{4} = 0,25$. $$ 14 + 0,09 - 0,25 = 14,09 - 0,25 = 13,84 $$ **Ответ: $13,84$** б) $0,9 - 0,4 - \frac{7}{20}$ Сначала переведем $\frac{7}{20}$ в десятичную дробь: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0,35$. $$ 0,9 - 0,4 - 0,35 = 0,5 - 0,35 = 0,15 $$ **Ответ: $0,15$** в) $0,8 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}$ Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. $$ \frac{4}{5} - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} $$ Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем: $$ (\frac{4}{5} + \frac{1}{5}) - \frac{2}{3} = \frac{4+1}{5} - \frac{2}{3} = \frac{5}{5} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $$ **Ответ: $\frac{1}{3}$** г) $9 - 0,4 - \frac{4}{15}$ Переведем $0,4$ в обыкновенную дробь: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. $$ 9 - \frac{2}{5} - \frac{4}{15} $$ Приведем к общему знаменателю 15: $$ \frac{9 \cdot 15}{15} - \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{15} = \frac{135}{15} - \frac{6}{15} - \frac{4}{15} = \frac{135 - 6 - 4}{15} = \frac{129 - 4}{15} = \frac{125}{15} $$ Сократим дробь на 5: $$ \frac{125}{15} = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} $$ **Ответ: $8\frac{1}{3}$**