Решить уравнение $\sqrt{15+x} + \sqrt{3+x} = 6$

Нам нужно решить уравнение с квадратными корнями: $$\sqrt{15+x} + \sqrt{3+x} = 6$$ Для начала, чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{15+x} + \sqrt{3+x})^2 = 6^2$$ Используем формулу $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$: $$(15+x) + 2\sqrt{(15+x)(3+x)} + (3+x) = 36$$ $$18+2x + 2\sqrt{45+15x+3x+x^2} = 36$$ $$18+2x + 2\sqrt{x^2+18x+45} = 36$$ Перенесем все, кроме корня, в правую часть: $$2\sqrt{x^2+18x+45} = 36 - 18 - 2x$$ $$2\sqrt{x^2+18x+45} = 18 - 2x$$ Разделим обе части на 2: $$\sqrt{x^2+18x+45} = 9 - x$$ Теперь снова возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от оставшегося корня: $$(\sqrt{x^2+18x+45})^2 = (9-x)^2$$ $$x^2+18x+45 = 81 - 18x + x^2$$ Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а числа в другую: $$x^2 - x^2 + 18x + 18x = 81 - 45$$ $$36x = 36$$ $$x = \frac{36}{36}$$ $$x = 1$$ Теперь обязательно нужно проверить, подходит ли найденное значение \(x\) в исходное уравнение, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Также нужно проверить условие подкоренных выражений: \(15+x \ge 0\) и \(3+x \ge 0\) и \(9-x \ge 0\). 1. Проверка условий: - $$15+1 = 16 \ge 0$$ (верно) - $$3+1 = 4 \ge 0$$ (верно) - $$9-1 = 8 \ge 0$$ (верно) 2. Подставим \(x=1\) в исходное уравнение: $$\sqrt{15+1} + \sqrt{3+1} = 6$$ $$\sqrt{16} + \sqrt{4} = 6$$ $$4 + 2 = 6$$ $$6 = 6$$ (верно) Значение \(x=1\) является корнем уравнения. **Ответ:** $$x = 1$$