Найдите значение выражения $1 \frac{2}{3} \cdot \frac{14}{25} : \frac{1}{6}$

1. Найдем значение выражения: $$1 \frac{2}{3} \cdot \frac{14}{25} : \frac{1}{6}$$ Переведем смешанную дробь в неправильную: $$1 \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$$ Теперь подставим это в выражение и выполним умножение и деление: $$\frac{5}{3} \cdot \frac{14}{25} : \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 14}{3 \cdot 25} : \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 14}{3 \cdot 5} : \frac{1}{6} = \frac{14}{15} : \frac{1}{6}$$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: $$\frac{14}{15} \cdot \frac{6}{1} = \frac{14 \cdot 6}{15 \cdot 1} = \frac{14 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \frac{28}{5} = 5 \frac{3}{5}$$ **Ответ: $5 \frac{3}{5}$** 2. Найдем значение выражения: $$(1,84 + 0,96) \cdot 3,5$$ Сначала выполним сложение в скобках: $$1,84 + 0,96 = 2,8$$ Затем выполним умножение: $$2,8 \cdot 3,5 = 9,8$$ **Ответ: 9,8** 3. Найдем значение выражения: $$\left(\frac{5}{12} - \frac{3}{8}\right) : \frac{5}{12}$$ Сначала выполним вычитание в скобках. Найдем общий знаменатель для 12 и 8. Общий знаменатель — 24. $$\frac{5}{12} - \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{10}{24} - \frac{9}{24} = \frac{10 - 9}{24} = \frac{1}{24}$$ Теперь выполним деление: $$\frac{1}{24} : \frac{5}{12} = \frac{1}{24} \cdot \frac{12}{5} = \frac{1 \cdot 12}{24 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$$ **Ответ: $\frac{1}{10}$** 4. Найдем значение выражения: $$6,8 : (1,21 - 5,21)$$ Сначала выполним вычитание в скобках: $$1,21 - 5,21 = -4$$ Затем выполним деление: $$6,8 : (-4) = -1,7$$ **Ответ: -1,7** 5. Найдем значение выражения: $$\frac{13}{7} \cdot \frac{9}{4} + \frac{23}{28}$$ Сначала выполним умножение: $$\frac{13}{7} \cdot \frac{9}{4} = \frac{13 \cdot 9}{7 \cdot 4} = \frac{117}{28}$$ Теперь выполним сложение: $$\frac{117}{28} + \frac{23}{28} = \frac{117 + 23}{28} = \frac{140}{28}$$ Выполним деление: $$\frac{140}{28} = 5$$ **Ответ: 5** 6. Найдем значение выражения: $$(1,56 + 1,94) \cdot 1,6$$ Сначала выполним сложение в скобках: $$1,56 + 1,94 = 3,5$$ Затем выполним умножение: $$3,5 \cdot 1,6 = 5,6$$ **Ответ: 5,6** 7. Найдем значение выражения: $$\frac{11}{8} - \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{24}$$ Сначала выполним умножение: $$\frac{7}{3} \cdot \frac{5}{24} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 24} = \frac{35}{72}$$ Теперь выполним вычитание. Найдем общий знаменатель для 8 и 72. Общий знаменатель — 72. $$\frac{11}{8} - \frac{35}{72} = \frac{11 \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{35}{72} = \frac{99}{72} - \frac{35}{72} = \frac{99 - 35}{72} = \frac{64}{72}$$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8: $$\frac{64}{72} = \frac{64 : 8}{72 : 8} = \frac{8}{9}$$ **Ответ: $\frac{8}{9}$** 8. Найдем значение выражения: $$5,2 : (2,37 - 6,37)$$ Сначала выполним вычитание в скобках: $$2,37 - 6,37 = -4$$ Затем выполним деление: $$5,2 : (-4) = -1,3$$ **Ответ: -1,3** 9. Найдем значение выражения: $$3 \frac{8}{11} - \frac{13}{15}$$ Допущение: Между $3$ и $\frac{8}{11}$ стоит знак плюс, т.е. $3 + \frac{8}{11} = 3 \frac{8}{11}$. Переведем смешанную дробь в неправильную: $$3 \frac{8}{11} = \frac{3 \cdot 11 + 8}{11} = \frac{33 + 8}{11} = \frac{41}{11}$$ Теперь выполним вычитание. Найдем общий знаменатель для 11 и 15. Общий знаменатель — $11 \cdot 15 = 165$. $$\frac{41}{11} - \frac{13}{15} = \frac{41 \cdot 15}{11 \cdot 15} - \frac{13 \cdot 11}{15 \cdot 11} = \frac{615}{165} - \frac{143}{165} = \frac{615 - 143}{165} = \frac{472}{165}$$ Выделим целую часть: $$\begin{array}{ccc|l} 4 & 7 & 2 & 165 \\ \hline 3 & 3 & 0 & 2 \\ \hline 1 & 4 & 2 \end{array}$$ Значит, $2 \frac{142}{165}$. **Ответ: $2 \frac{142}{165}$** 10. Решим уравнение: $$x^2 + 18 = 11x$$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$: $$x^2 - 11x + 18 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$$ Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ **Ответ: $x_1 = 9$, $x_2 = 2$** 11. Решим уравнение: $$-x - 2 + 3(x - 3) = 3(4 - x) - 3$$ Раскроем скобки: $$-x - 2 + 3x - 9 = 12 - 3x - 3$$ Приведем подобные члены в обеих частях уравнения: $$2x - 11 = 9 - 3x$$ Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числа в правую: $$2x + 3x = 9 + 11$$ $$5x = 20$$ Разделим обе части на 5: $$x = \frac{20}{5}$$ $$x = 4$$ **Ответ: $x = 4$** 12. Решим уравнение: $$3 + 4x^2 - 8x = 0$$ Перепишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$: $$4x^2 - 8x + 3 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$$ Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5$$ **Ответ: $x_1 = 1,5$, $x_2 = 0,5$** 13. Найдем значение выражения: $$\frac{9(a^3b^2)^2}{a^6b^5} \quad \text{при} \quad a = 5,02 \quad \text{и} \quad b = 3$$ Сначала упростим выражение: $$\frac{9(a^3b^2)^2}{a^6b^5} = \frac{9a^{3 \cdot 2}b^{2 \cdot 2}}{a^6b^5} = \frac{9a^6b^4}{a^6b^5}$$ Сократим $a^6$: $$\frac{9b^4}{b^5} = \frac{9}{b}$$ Теперь подставим значение $b = 3$ в упрощенное выражение: $$\frac{9}{3} = 3$$ Значение $a = 5,02$ не повлияло на окончательный результат, так как $a$ сократилось. **Ответ: 3**