Найти площадь полной поверхности и объем правильной пирамиды ABCD N, основание которой — квадрат ABCD со стороной a=10 см, а апофема l=13 см.

1. Найдем площадь основания (квадрата) $S_{осн}$: $$S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100 \text{ см}^2$$ 2. Найдем периметр основания $P_{осн}$: $$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 10 = 40 \text{ см}$$ 3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$: $$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 13 = 20 \cdot 13 = 260 \text{ см}^2$$ 4. Найдем площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 260 = 360 \text{ см}^2$$ 5. Найдем высоту пирамиды $h$. Апофема $l$, половина стороны основания $\frac{a}{2}$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = l^2$$ $$h^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 13^2$$ $$h^2 + 5^2 = 13^2$$ $$h^2 + 25 = 169$$ $$h^2 = 169 - 25$$ $$h^2 = 144$$ $$h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$ 6. Найдем объем пирамиды $V$: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 100 \cdot 4 = 400 \text{ см}^3$$ **Ответ:** Площадь полной поверхности пирамиды равна $360 \text{ см}^2$, объем пирамиды равен $400 \text{ см}^3$.