Решите уравнения.

а) $$(x+3)(x-2) + (x+2)^2 = 3x+10$$ Раскрываем скобки и возводим в квадрат: $$x^2 - 2x + 3x - 6 + x^2 + 4x + 4 = 3x + 10$$ Приводим подобные члены: $$2x^2 + 5x - 2 = 3x + 10$$ Переносим все члены в левую часть: $$2x^2 + 5x - 3x - 2 - 10 = 0$$ $$2x^2 + 2x - 12 = 0$$ Делим всё на 2: $$x^2 + x - 6 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ **Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -3$** б) $$(x-5)^2 + (3-x)^2 - 4(x+5)(3-x) - 48 = (x+1)^2$$ Раскрываем скобки и возводим в квадрат: $$x^2 - 10x + 25 + 9 - 6x + x^2 - 4(3x - x^2 + 15 - 5x) - 48 = x^2 + 2x + 1$$ $$2x^2 - 16x + 34 - 4(-x^2 - 2x + 15) - 48 = x^2 + 2x + 1$$ $$2x^2 - 16x + 34 + 4x^2 + 8x - 60 - 48 = x^2 + 2x + 1$$ $$6x^2 - 8x - 74 = x^2 + 2x + 1$$ Переносим все члены в левую часть: $$6x^2 - x^2 - 8x - 2x - 74 - 1 = 0$$ $$5x^2 - 10x - 75 = 0$$ Делим всё на 5: $$x^2 - 2x - 15 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$ $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ **Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -3$** в) $$(x-1)(x-3) + (x+3)(x-5) + 2x = 4$$ Раскрываем скобки: $$x^2 - 3x - x + 3 + x^2 - 5x + 3x - 15 + 2x = 4$$ Приводим подобные члены: $$2x^2 - 4x + 3 - 2x - 15 = 4$$ $$2x^2 - 6x - 12 = 4$$ Переносим 4 в левую часть: $$2x^2 - 6x - 12 - 4 = 0$$ $$2x^2 - 6x - 16 = 0$$ Делим всё на 2: $$x^2 - 3x - 8 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41$$ $$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{41}}{2}$$ **Ответ: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{41}}{2}$** г) $$8x^2 + 11 = x \frac{1-5x}{7}$$ Умножаем обе части на 7, чтобы избавиться от дроби: $$7(8x^2 + 11) = x(1-5x)$$ $$56x^2 + 77 = x - 5x^2$$ Переносим все члены в левую часть: $$56x^2 + 5x^2 - x + 77 = 0$$ $$61x^2 - x + 77 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 61 \cdot 77 = 1 - 18788 = -18787$$ Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. **Ответ: Корней нет** д) $$1.2x^2 - 0.8x - 3.1 = 0$$ Умножаем на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $$12x^2 - 8x - 31 = 0$$ Используем формулу корней квадратного уравнения: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-31) = 64 + 1488 = 1552$$ $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{1552}}{2 \cdot 12} = \frac{8 + \sqrt{1552}}{24}$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{1552}}{2 \cdot 12} = \frac{8 - \sqrt{1552}}{24}$$ Можно упростить $\sqrt{1552} = \sqrt{16 \cdot 97} = 4\sqrt{97}$: $$x_1 = \frac{8 + 4\sqrt{97}}{24} = \frac{4(2 + \sqrt{97})}{24} = \frac{2 + \sqrt{97}}{6}$$ $$x_2 = \frac{8 - 4\sqrt{97}}{24} = \frac{4(2 - \sqrt{97})}{24} = \frac{2 - \sqrt{97}}{6}$$ **Ответ: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{97}}{6}, x_2 = \frac{2 - \sqrt{97}}{6}$**