15. Биссектриса равностороннего треугольника равна 17√3. Найдите сторону этого треугольника.

15. \(h_b = 17\sqrt{3}\). В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают. Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(a\). Тогда высота \(h_b\) выражается формулой: \(h_b = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Подставим известное значение высоты: $$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 17\sqrt{3}$$ Умножим обе части на 2: $$a\sqrt{3} = 34\sqrt{3}$$ Разделим обе части на \(\sqrt{3}\): $$a = 34$$ **Ответ: 34** 16. Пусть \(K\) — точка касания первой прямой с окружностью, а \(B\) и \(C\) — точки пересечения второй прямой с окружностью. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности: $$(AK)^2 = AB \cdot AC$$ Нам даны \(AB = 4\) и \(BC = 12\). Тогда \(AC = AB + BC = 4 + 12 = 16\). Подставим значения в формулу: $$(AK)^2 = 4 \cdot 16$$ $$(AK)^2 = 64$$ Извлечем квадратный корень: $$AK = \sqrt{64}$$ $$AK = 8$$ **Ответ: 8** 17. Пусть сторона ромба равна \(a\), а высота — \(h = 7\). Один из углов ромба равен \(150^\circ\). Тогда смежный с ним угол равен \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). В ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла к стороне, образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота \(h\) является катетом, противолежащим углу \(30^\circ\), а сторона ромба \(a\) является гипотенузой. Из определения синуса: $$\sin(30^\circ) = \frac{h}{a}$$ Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). $$\frac{1}{2} = \frac{7}{a}$$ Решим для \(a\): $$a = 7 \cdot 2$$ $$a = 14$$ Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как у ромба все стороны равны, периметр \(P = 4a\). $$P = 4 \cdot 14$$ $$P = 56$$ **Ответ: 56** 18. Для нахождения площади трапеции по изображению на клетчатой бумаге, определим длины оснований и высоту. Верхнее основание (b): 4 клетки. Нижнее основание (a): 6 клеток. Высота (h): 4 клетки. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$ Подставим значения: $$S = \frac{6+4}{2} \cdot 4$$ $$S = \frac{10}{2} \cdot 4$$ $$S = 5 \cdot 4$$ $$S = 20$$ **Ответ: 20**