Решите систему уравнений x - 5y = 9 и x^2 + 3xy - y^2 = 3

а) Система уравнений: $$\begin{cases} x - 5y = 9 \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $x$: $x = 9 + 5y$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$(9 + 5y)^2 + 3(9 + 5y)y - y^2 = 3$$ $$81 + 90y + 25y^2 + 27y + 15y^2 - y^2 = 3$$ $$81 + 117y + 39y^2 = 3$$ $$39y^2 + 117y + 78 = 0$$ Разделим все на 3: $$13y^2 + 39y + 26 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 39^2 - 4 \cdot 13 \cdot 26 = 1521 - 1352 = 169$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$$ Найдем корни $y$: $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-39 + 13}{2 \cdot 13} = \frac{-26}{26} = -1$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-39 - 13}{2 \cdot 13} = \frac{-52}{26} = -2$$ Теперь найдем соответствующие значения $x$: При $y_1 = -1$: $x_1 = 9 + 5(-1) = 9 - 5 = 4$ При $y_2 = -2$: $x_2 = 9 + 5(-2) = 9 - 10 = -1$ **Ответ: а) (4; -1), (-1; -2)** б) Система уравнений: $$\begin{cases} x + y = 8 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = 8 - x$ Преобразуем второе уравнение: $$\frac{y+x}{xy} = \frac{2}{3}$$ Зная, что $x+y=8$, подставим это в преобразованное уравнение: $$\frac{8}{xy} = \frac{2}{3}$$ $$2xy = 8 \cdot 3$$ $$2xy = 24$$ $$xy = 12$$ Теперь у нас есть система: $$\begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 12 \end{cases}$$ Подставим $y = 8 - x$ во второе уравнение: $$x(8 - x) = 12$$ $$8x - x^2 = 12$$ $$x^2 - 8x + 12 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$$ Найдем корни $x$: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ Теперь найдем соответствующие значения $y$: При $x_1 = 6$: $y_1 = 8 - 6 = 2$ При $x_2 = 2$: $y_2 = 8 - 2 = 6$ **Ответ: б) (6; 2), (2; 6)**