Решите систему уравнений $\begin{cases} x+y=6 \\ y=x^2-4 \end{cases}$

1. $$\begin{cases} x+y=6 \\ y=x^2-4 \end{cases}$$ Подставим $y$ из второго уравнения в первое: $$x + (x^2 - 4) = 6$$ $$x^2 + x - 4 - 6 = 0$$ $$x^2 + x - 10 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$$ Получаем два значения для $x$: $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$$ Теперь найдём соответствующие значения $y$: Для $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$: $$y_1 = x_1^2 - 4 = \left(\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}\right)^2 - 4 = \frac{1 - 2\sqrt{41} + 41}{4} - 4 = \frac{42 - 2\sqrt{41}}{4} - 4 = \frac{21 - \sqrt{41}}{2} - \frac{8}{2} = \frac{13 - \sqrt{41}}{2}$$ Для $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$: $$y_2 = x_2^2 - 4 = \left(\frac{-1 - \sqrt{41}}{2}\right)^2 - 4 = \frac{1 + 2\sqrt{41} + 41}{4} - 4 = \frac{42 + 2\sqrt{41}}{4} - 4 = \frac{21 + \sqrt{41}}{2} - \frac{8}{2} = \frac{13 + \sqrt{41}}{2}$$ **Ответ:** $(\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}; \frac{13 - \sqrt{41}}{2})$ и $(\frac{-1 - \sqrt{41}}{2}; \frac{13 + \sqrt{41}}{2})$ 2. $$\begin{cases} x-y=4 \\ xy=5 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $x$: $x = 4 + y$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$(4 + y)y = 5$$ $$4y + y^2 = 5$$ $$y^2 + 4y - 5 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}$$ Получаем два значения для $y$: $$y_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ Теперь найдём соответствующие значения $x$: Для $y_1 = 1$: $$x_1 = 4 + y_1 = 4 + 1 = 5$$ Для $y_2 = -5$: $$x_2 = 4 + y_2 = 4 + (-5) = -1$$ **Ответ:** $(5; 1)$ и $(-1; -5)$