1. В прямоугольном треугольнике ABC из прямого угла С провели высоту CD. Найдите отрезок BD, если AB=80 см, BC=40 см.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ из прямого угла $C$ провели высоту $CD$. Найдите отрезок $BD$, если $AB=80$ см, $BC=40$ см. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $) $CD$ - высота, проведенная к гипотенузе $AB$. По свойству прямоугольного треугольника, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. В данном случае: $BC^2 = AB \cdot BD$ Подставляем известные значения: $40^2 = 80 \cdot BD$ $1600 = 80 \cdot BD$ $BD = \frac{1600}{80}$ $BD = 20$ **Ответ: $BD = 20$ см** 2. В треугольнике $ABC$ известно, что $ \angle C=90^\circ $, $ \angle A=60^\circ $. Биссектриса угла $A$ пересекает катет $BC$ в точке $K$. Найдите $BK$, если $AK-CK=8$ см. Так как $ \angle C=90^\circ $ и $ \angle A=60^\circ $, то $ \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $. $AK$ — биссектриса угла $A$, значит, $ \angle CAK = \angle BAK = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$. $ \angle CAK = 30^\circ $. $CK = AC \cdot \text{tg}( \angle CAK ) = AC \cdot \text{tg}(30^\circ) = AC \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} $. Рассмотрим треугольник $ABK$. В этом треугольнике $ \angle B = 30^\circ $ и $ \angle BAK = 30^\circ $. Значит, треугольник $ABK$ равнобедренный, $AK = BK$. В прямоугольном треугольнике $ACK$: $ \text{cos}( \angle CAK ) = \frac{AC}{AK} \Rightarrow AK = \frac{AC}{\text{cos}(30^\circ)} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2AC}{\sqrt{3}} $. Мы знаем, что $AK - CK = 8$. Подставим выражения для $AK$ и $CK$: $ \frac{2AC}{\sqrt{3}} - AC \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 8$ $ AC \left( \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 8$ $ AC \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 8$ $ AC = 8\sqrt{3} $. Теперь найдем $AK$: $ AK = \frac{2AC}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 8 = 16 $. Так как $AK = BK$, то $BK = 16$ см. **Ответ: $BK = 16$ см**